拟射影簇是否存在含光滑补集的射影闭包？完备交补集呢？

嘿，咱们来拆解这个问题的两个部分：

一、是否存在射影闭包Y，使得Y\X光滑？ #

答案是肯定的（在特征0的代数闭域上，这是标准结论；特征p>0的情况目前没有普遍的奇点消解定理，可能存在反例）。具体思路如下：

• 首先，任何拟射影簇X都可以嵌入到某个射影空间$\mathbb{P}^n$中，得到一个初始的射影闭包$Y_0$（也就是X在$\mathbb{P}^n$中的闭包）。此时$Y_0 \setminus X$是$\mathbb{P}^n$中的闭子集，但可能带有奇点。
• 接下来，利用Hironaka的奇点消解定理：对于特征0的代数闭域上的任意代数簇，我们可以通过一系列的blow-up操作，将$Y_0$的奇点（包括$Y_0 \setminus X$的奇点）消解，得到一个光滑的射影簇Y，同时保证blow-up操作在X上是恒同映射（因为X是$Y_0$的光滑开子集，blow-up的中心在$Y_0 \setminus X$及其奇点上，不会影响X）。
• 最终得到的Y就是满足条件的射影簇：X开稠密浸入Y，且$Y \setminus X$是Y中的光滑闭子集。

二、是否存在射影闭包Y，使得Y\X是完备交？ #

答案是不一定存在，存在一些拟射影簇，其任何射影闭包的补集都无法成为完备交。这里举几个关键的观察和例子：

• 首先明确：射影意义下的完备交是指闭子集可以由与其余维数相等的多个全局截面（或齐次方程）定义。比如余维1的完备交就是Cartier除子，余维2的就是两个Cartier除子的交，以此类推。
• 反例1：考虑$X = \mathbb{C}^2 \setminus \{0\}$（二维仿射空间去掉原点）。假设存在射影闭包Y，使得$Y \setminus X$是完备交。由于X的Picard群$\text{Pic}(X) \cong \mathbb{Z}$（由原点处的“极点”生成），而如果$Y \setminus X$是完备交，根据Lefschetz型定理，$\text{Pic}(Y)$到$\text{Pic}(X)$的限制映射应该是满射，但任何包含X的射影簇Y的Picard群都是有限生成的，且X的Picard群中的某些元素无法被Y上的Cartier除子限制得到，这就导致矛盾。实际上，X的任何射影闭包的补集要么是多个不同余维的闭子集的并（比如$\mathbb{P}^2$中的无穷远线加原点），要么是多个除子的并（比如blow-up原点后的例外曲线加无穷远线），都不是完备交。
• 另一个角度：如果$Y \setminus X$是完备交，那么X的上同调群会满足一些约束条件（比如某些上同调类必须是torsion）。如果X本身的上同调不满足这些约束，就不存在这样的Y。比如，取X是一个光滑拟射影曲面，其第一陈类$c_1(X)$不是torsion元素，而若$Y \setminus X$是余维1的完备交（即除子），则$c_1(Y)$与$c_1(X)$相差一个除子的类，这会迫使$c_1(X)$成为torsion，与假设矛盾。

当然，也存在一些拟射影簇确实能找到这样的闭包：比如X是射影簇去掉一个光滑的完备交闭子集，此时原射影簇就是满足条件的Y。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tcamps