是否存在无穷多条过原点的复直线？及SCV笔记习题相关求证

先明确定义：Jiří Lebl所著SCV笔记第21页的习题1.2.11(b)中，将过原点的复直线定义为线性函数 $L:\mathbb C\to\mathbb C^n$ 的像。这道习题还要求读者证明：若一个整全纯函数在可数多条过原点的复直线上有界，则该函数为常数。

回到核心问题：当$n>1$时，$\mathbb C^n$中确实存在无穷多条不同的过原点的复直线，这里给个直观的构造例子：

• 以$\mathbb C^2$为例，对每个整数$n$，定义线性函数 $L_n(z)=(z,nz)$（其中$z\in\mathbb C$），每个$L_n$的像都是一条过原点的复直线。
• 验证唯一性：若$m\neq n$，则$L_m$与$L_n$的像完全不同。假设存在$z_1,z_2\in\mathbb C$使得$(z_1,mz_1)=(z_2,nz_2)$，那么$z_1=z_2$，同时$mz_1=nz_2$。若$z_1\neq0$，则必然有$m=n$，与假设矛盾；若$z_1=0$，这只是原点，不影响两条直线的区分度。由此我们就得到了无穷多条不同的过原点的复直线。

推广到$n>2$的情况也很简单：比如固定前两个分量为$(z,kz)$（$k$取不同的整数或复数），其余分量均为0，这样就能轻松构造出无穷多条不同的过原点的复直线。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A. Howells