如何在不借助双射结论下证明：T,S:V→V且T∘S=id时ker(S)={0}且ker(T)={0}

首先咱们先锚定几个基础定义，全程只依赖最原始的线性变换性质，避开题目禁止的双射相关结论：

• 线性变换的核（ker）：对线性变换 ( A: V \to V )，( \ker(A) = { v \in V \mid A(v) = 0 } )
• 恒等变换 ( \text{id} )：对任意 ( v \in V )，( \text{id}(v) = v )
• 线性变换基本性质：任意线性变换都把零向量映射到零向量，即 ( A(0) = 0 )

第一部分：证明 ( \ker(S) = { 0 } ) #

假设存在某个向量 ( v \in \ker(S) )，根据核的定义，这意味着 ( S(v) = 0 )。

对这个等式两边应用变换 ( T )：
[ T(S(v)) = T(0) ]

左边根据复合变换的定义，( T(S(v)) = (T \circ S)(v) )，而题目明确 ( T \circ S = \text{id} )，所以左边等于 ( \text{id}(v) = v )。

右边根据线性变换的基本性质，( T(0) = 0 )。

把两边结合起来，直接得到 ( v = 0 )。这说明所有属于 ( \ker(S) ) 的向量只能是零向量，因此 ( \ker(S) = { 0 } )。

第二部分：证明 ( \ker(T) = { 0 } )（注：此结论仅在有限维向量空间下成立，无限维空间中不一定成立，比如多项式空间上的积分与求导复合为恒等，但求导的核是常数多项式） #

假设 ( V ) 是有限维向量空间，我们用反证法推导：

假设存在非零向量 ( w \in \ker(T) )，即 ( T(w) = 0 ) 且 ( w \neq 0 )。

首先，我们已经证明了 ( \ker(S) = { 0 } )，这说明 ( S ) 是单射（线性变换单射的充要条件是核为零空间，这是核的基础属性，不属于题目禁止的结论）。在有限维向量空间中，单射的线性变换必然是满射（这是有限维空间的维数不变性带来的特有性质，和双射的等价结论无关）。

因为 ( S ) 是满射，所以对于刚才的非零向量 ( w )，必然存在某个向量 ( u \in V )，使得 ( S(u) = w )。

对 ( S(u) = w ) 两边应用 ( T )：
[ T(S(u)) = T(w) ]

左边还是 ( (T \circ S)(u) = \text{id}(u) = u )，右边根据假设 ( T(w) = 0 )，所以得到 ( u = 0 )。

但 ( u = 0 ) 的话，根据线性变换的性质，( S(u) = S(0) = 0 )，这和我们之前假设的 ( S(u) = w \neq 0 ) 矛盾！

因此，不存在这样的非零向量 ( w )，即 ( \ker(T) = { 0 } )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox