椭圆面积计算中积分上限选取的技术疑问：为何取a而非b？

嘿，这个问题问到点子上了，咱们从积分变量和椭圆的定义域来拆解：

• 先明确x的取值范围
  对于椭圆方程$\frac{x^2}{a2}+\frac{y^2}{b2}=1$，实数范围内$x^{2$不能大于$a}2$（否则$\frac{x^2}{a2}>1$，$\frac{y^2}{b2}$会变成负数，不符合实数定义），所以x的取值区间是$\boldsymbol{[-a, a]}$。

• 积分变量决定了上限的选择
  我们现在写的积分$\frac{1}{4}A=\int^{a_0\frac{b}{a}\sqrt{a}2-x^2}dx$，是以x作为积分变量来计算第一象限的面积：在第一象限里，x从0开始，一直到它的最大值a，对应的y从0变化到b。所以积分的上下限是根据x的取值范围来定的，上限自然是x的最大值a。

  如果我们换用y作为积分变量，那第一象限的面积就会写成$\frac{1}{4}A=\int^{b_0\frac{a}{b}\sqrt{b}2-y^2}dy$，这时候积分上限就是b了——这完全取决于我们选择哪个变量来做积分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jinzu