关于度量空间(X,d)中开球半径r取值范围的技术问询

这其实是个基础但容易混淆的点，我来给你梳理清楚：

首先回到度量的核心定义：集合X上的度量d，本质是一个满足特定规则的函数——它的定义域是X中元素的两两组合，值域则是非负实数集ℝ≥0。也就是说，任意两个X中元素的距离d(x,y)，最终得到的结果都是实数。

而开球的定义是：对于x∈X，r>0，开球B(x,r) = { y∈X | d(x,y) < r }。这里的r是用来和距离d(x,y)做大小比较的——既然距离本身是实数，那r必然也得是正实数（ℝ>0），和X本身是什么集合完全无关。

举两个直观的例子帮你理解：

• 假设X是整数集ℤ，用通常的绝对值度量d(m,n)=|m-n|。你完全可以取r=0.5，这时候B(2, 0.5)就是{2}这个单点集——因为没有其他整数和2的距离小于0.5。这里r=0.5显然不属于X（ℤ），但完全符合开球的定义。
• 再比如X是闭区间[0,1]上的所有连续函数集合，度量用sup距离d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)| | x∈[0,1]}。这时候你可以取r=0.3，开球就是所有和f的sup距离小于0.3的连续函数，r依然是正实数，和X里的函数元素没有任何关联。

总结一下：不管X是什么空间，开球的半径r都属于正实数集ℝ>0，不需要属于X。定义里的r>0就是指正实数，这是由度量的值域直接决定的——毕竟你总不能拿一个非实数的东西，和实数类型的距离去比较大小吧？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者N00Bie20