验证独立R(0,1)分布X、Y的U=X+Y与V=X-Y取值范围

咱们一步步来拆解验证这个取值范围的合理性哈，先明确已知前提：

• X和Y都服从(0,1)上的均匀分布，且相互独立，联合概率密度为 $f_{X,Y}(x,y)=1 \cdot I_{0<x<1,0<y<1}$
• 做变量变换：$U=X+Y$，$V=X-Y$，先通过逆变换把X、Y用U、V表示：$X=\frac{U+V}{2}$，$Y=\frac{U-V}{2}$

因为X和Y的取值范围都是$(0,1)$，代入逆变换可以得到关于U和V的不等式组：
$$
\begin{cases}
0 < \frac{U+V}{2} < 1 \
0 < \frac{U-V}{2} < 1
\end{cases}
$$

把这个不等式组展开，得到四个约束条件：

• $U + V > 0$
• $U + V < 2$
• $U - V > 0$
• $U - V < 2$

接下来分V的正负情况拆解这些约束：

情况1：$0 < V < 1$ #

此时：

• 由$U - V > 0$可得 $U > V$
• 由$U + V < 2$可得 $U < 2 - V$
• 另外两个约束自动满足：$U + V > 0$（因为U>V>0），$U - V < 2$（因为U<2-V < 2+V，且V<1，2-V<2）
• 区间有意义的条件是$V < 2 - V$，即$V < 1$，和当前V的范围一致

这时候对应的取值范围就是**$0 < V < U < 2 - V < 2$**——这部分你给出的范围是完全正确的，因为V>0时$2-V < 2$必然成立。

情况2：$-1 < V < 0$ #

这是你给出的范围没覆盖到的部分：

• 由$U + V > 0$可得 $U > -V$（V为负，$-V$是正数）
• 由$U - V < 2$可得 $U < 2 + V$（V为负，$2+V$的范围是$(1,2)$）
• 另外两个约束自动满足：$U - V > 0$（U>-V>0），$U + V < 2$（U<2+V < 2）
• 区间有意义的条件是$-V < 2 + V$，即$V > -1$，和当前V的范围一致

这部分的取值范围是$-1 < V < 0$且$-V < U < 2 + V$

总结 #

你给出的$0<v<u<2-v<2$是部分正确的，它准确描述了V取正值时U和V的取值关系，但没有覆盖V取负值的情况，完整的取值区域需要包含上述两种情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user321656