验证圆柱与平面的3D交曲线正向旋转参数化是否正确

你的思路已经对了一半啦！

首先，你对xy平面上的圆x² + y² = 4的参数化是完全正确的：用x = 2cos(t)，y = 2sin(t)（t ∈ [0, 2π]）确实能表示这个半径为2的圆，而且当t从0增加到2π时，曲线是沿逆时针方向旋转的，完全符合题目要求的正向。

不过要注意，曲线C是圆柱和平面z = y + 3的交曲线，这是一条空间曲线，所以完整的参数化需要包含z坐标——你只给出了x和y的参数表达式，漏掉了z的部分。

把y = 2sin(t)代入平面方程z = y + 3，就能得到z的参数表达式：z = 2sin(t) + 3。

所以完整的参数化应该是：

• x(t) = 2cos(t)
• y(t) = 2sin(t)
• z(t) = 2sin(t) + 3
  其中t ∈ [0, 2π]

这样得到的参数化既满足圆柱方程，也满足平面方程，同时保持了xy平面上的逆时针正向。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user8700908