关于α-Hölder范数定义的疑问：为何需引入L∞范数？

最近我开始学习Hölder范数，正在啃Evans著作里的相关定义。教授在讲解这些定义时特意强调：

我们需要$L_{\infty}-$范数来定义Hölder范数，因为常数函数会引发问题

我琢磨了半天，试着梳理出了自己的理解：

• 假设$u(x)$是常数函数，那它的Hölder半范数$[u]_{C^{0,\gamma}}=0$，但这个函数本身可不是零函数
• 这就说明单独用Hölder半范数$[u]{C^{{0,\gamma}}$没法当完整的Hölder范数用——毕竟范数的基本要求里，$|u|=0$必须等价于$u=0$。所以必须把$L_\infty$-范数（也就是函数的本质上确界）加进来，构成完整的Hölder范数$|u|_{C}{0,\gamma}} = |u|{L^\infty} + [u]_{C^{0,\gamma}}$，这样非零常数函数的范数就等于它的绝对值，不会和零函数混淆了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kaithkolesidou