如何证明或证伪下述数论命题？∀a∈ℤ ∀b∈ℕ，若a < b则a² < b²

先直接给结论：这个命题是假命题，我们只需要找一个反例就能轻松证伪它。

证伪：举反例 #

取整数 a = -3，自然数 b = 2：

• 显然满足 a < b（-3 < 2）
• 但计算平方：a² = (-3)² = 9，b² = 2² = 4
• 此时 9 > 4，完全不满足 a² < b²

再补几个更直观的例子：

• a = -5，b = 3：-5 < 3，但25 > 9
• a = -1，b = 1：-1 < 1，但1 = 1，也不满足严格小于

为什么原命题会出错？ #

问题出在整数包含负整数这一点上。自然数b是大于等于0的（不同定义里可能从1开始，但不管哪种都非负），当a是负整数时，虽然a的数值比b小，但它的绝对值可能比b大，平方之后负数变正数，绝对值大的平方值自然更大，直接打破了原命题的结论。

延伸：命题成立的限定条件 #

如果给a加上限制，比如a是非负整数，那命题就成立了，证明如下：
已知 a ∈ ℤ 且 a ≥ 0，b ∈ ℕ，且 a < b：

1. 因为a ≥ 0，不等式两边乘a（非负数），不等号方向不变：a * a < a * b，即 a² < ab
2. 因为b是自然数（必然为正），不等式两边乘b，不等号方向不变：a * b < b * b，即 ab < b²
3. 根据不等式的传递性，可得 a² < ab < b²，也就是 a² < b²

另外，如果a是负整数，但满足 |a| < b，也会有 a² < b²，比如a=-1，b=2：-1 < 2且1 < 4。但原命题是“任意整数a”，只要存在一个反例，整个命题就不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Solipsism