Sₙ的无限维不可约复表示是否存在？基于杨图的表示分析

好问题！其实答案非常明确：对称群Sₙ确实不存在无限维不可约复表示，背后的逻辑可以从有限群表示论的基础结论和Sₙ自身的表示特性两方面来理解：

• 有限群的复表示必然有限维：
  对于任意有限群G（包括Sₙ，它的阶是n!，显然有限），其群代数ℂG是一个有限维的复向量空间（维度等于群的大小|G|）。而群的每个表示都对应ℂG上的一个模，不可约表示则对应ℂG的单模。有限维代数的单模必然是有限维的——毕竟单模本质上是代数的一个商空间，它的维度不可能超过原代数的维度，所以有限群的所有不可约复表示都只能是有限维的。

• Sₙ的不可约表示已被杨图完全覆盖：
  你提到的通过杨图构造的表示，恰好对应了Sₙ的全部不可约复表示——这是有限群表示论中的经典结论：Sₙ的不可约复表示和正整数n的分划一一对应，每个分划对应一个杨图，进而可以构造出唯一的（同构意义下）不可约表示。既然所有不可约表示都被这些有限维的杨图表示覆盖了，自然不存在额外的无限维不可约表示。

顺带提一句：如果是无限对称群（比如所有自然数上的置换构成的群S_∞），那确实存在无限维不可约复表示，但Sₙ作为有限群，完全没有这个可能。

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