埃伦费斯特链期望的递推关系及闭合解推导技术问询

嘿，咱们先明确埃伦费斯特链的核心递推关系：它在状态$X_{n+1}$下的期望值可以表示为：
$$E[X_{n+1}] = 1 + (1 - 2/M)E[X_n]$$

接下来咱们用递推法一步步推导$E[X_n]$的闭合形式解：

\begin{align*}
E[X_n] &= 1 + \left(1 - \frac{2}{M}\right)E[X_{n-1}]\
&= 1 + \left(\frac{M-2}{M}\right)E[X_{n-1}]\
&= 1 + \left(\frac{M-2}{M}\right)\left[1 + \left(\frac{M-2}{M}\right)E[X_{n-2}]\right]\
&= 1 + \frac{M-2}{M} + \left(\frac{M-2}{M}\right)^2E[X_{n-2}]\
&= 1 + \frac{M-2}{M} + \dots
\end{align*}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ryan Honea