求$x(x+1)(x+2)\dots(x+n)$的n次多项式通式以求解积分

嘿，我来帮你捋清楚这个问题！先从你提到的多项式展开说起，顺便修正一个小细节：你说的$x(x+1)(x+2)\dots(x+n)$其实是n+1次多项式（毕竟有n+1个一次因子），不是n次——比如n=5时是6个因子，对应6次多项式，你之前观察到的次高次项系数规律可能记错了，正确的次高次项（$x^{n$，对应整体多项式的n次项，最高次为n+1次）系数是$\sum_{i=0}}n i = \frac{n(n+1)}{2}$，比如n=5时这个系数是15，和实际展开结果一致。

一、乘积多项式的通用展开式 #

这个乘积在组合数学里叫上升阶乘，记为$x^{(n+1)}$，它的多项式展开可以用无符号第一类斯特林数来精准描述，这是专门用来表示这类乘积展开系数的数，通用公式如下：
$$x(x+1)(x+2)\dots(x+n) = \sum_{k=1}^{n+1} s(n+1, k) x^k$$

关于无符号第一类斯特林数$s(m, k)$（这里$m = n+1$） #

• 核心规则：
  • 基础情况：
    • $s(m, 1) = (m-1)!$（所有元素排成一个循环，有$(m-1)!$种排列方式）
    • $s(m, m) = 1$（每个元素单独成一个循环，只有1种方式）
  • 递推公式：$s(m, k) = s(m-1, k-1) + (m-1)s(m-1, k)$
    简单解释：要么把第m个元素单独作为一个新循环，要么把它插入到前m-1个元素的某个循环里，每个循环有(m-1)个插入位置，所以有$(m-1)s(m-1,k)$种方式。

举个验证例子（n=5，m=6） #

根据斯特林数的递推，我们可以算出：
$s(6,1)=120$，$s(6,2)=274$，$s(6,3)=225$，$s(6,4)=85$，$s(6,5)=15$，$s(6,6)=1$
对应的展开式就是：
$$x^6 + 15x^5 + 85x^4 + 225x^3 + 274x^2 + 120x$$
你可以手动计算前几项的系数，比如$x^5$的系数是0+1+2+3+4+5=15，和$s(6,5)=15$完全一致，验证了这个公式的正确性。

二、不用部分分式的积分方法 #

你不想用部分分式分解来积分$\frac{1}{x(x+1)\dots(x+n)}$，其实可以利用乘积的递推性质来构造积分递推式，步骤很简单：

第一步：推导递推关系 #

我们可以直接通过代数变形得到：
$$\frac{1}{x(x+1)\dots(x+n)} = \frac{1}{n}\left( \frac{1}{x(x+1)\dots(x+n-1)} - \frac{1}{(x+1)(x+2)\dots(x+n)} \right)$$
验证：把右边通分，分子是$(x+n) - x = n$，分母就是$x(x+1)\dots(x+n)$，和左边完全相等，这个变形不需要任何分式分解技巧。

第二步：递推展开积分 #

利用上面的递推式，我们可以把高阶积分拆成两个低阶积分的差：
$$\int \frac{1}{x(x+1)\dots(x+n)} dx = \frac{1}{n}\left( \int \frac{1}{x(x+1)\dots(x+n-1)} dx - \int \frac{1}{(x+1)\dots(x+n)} dx \right)$$
不断重复这个过程，直到把积分拆成最简单的$\int \frac{1}{x}dx$、$\int \frac{1}{x+1}dx$这类基本积分，最终结果就是一系列对数项的线性组合。

举个实操例子（n=2） #

代入递推式：
$$\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)} dx = \frac{1}{2}\left( \int \frac{1}{x(x+1)}dx - \int \frac{1}{(x+1)(x+2)}dx \right)$$
再对低阶积分用同样的递推：
$$\int \frac{1}{x(x+1)}dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C_1$$
$$\int \frac{1}{(x+1)(x+2)}dx = \ln|x+1| - \ln|x+2| + C_2$$
合并后得到：
$$\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)} dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\right| + C$$
你可以求导验证，结果完全正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Paden Gould