$\mathbb{R}^n$的无内部子集必为闭集吗？能否用单点集示例证明？

好问题！咱们一步步来拆解你的两个疑问：

答案是否定的——无内部的子集不一定是闭集。这里有个经典的反例：在$\mathbb{R}$中，有理数集$\mathbb{Q}$就是一个典型的无内部但非闭的子集。

为什么呢？

• 先说内部：$\mathbb{Q}$的内部是空集。因为你找不到任何一个开区间$(a,b)$，能完全包含在$\mathbb{Q}$里——任何开区间里都有无穷多个无理数，所以不存在这样的开集，$\text{int}(\mathbb{Q}) = \emptyset$。
• 再说闭集：$\mathbb{Q}$不是闭集。比如取无理数$\sqrt{2}$，你可以构造一列有理数（比如1, 1.4, 1.41, 1.414,...），这列数收敛到$\sqrt{2}$，但$\sqrt{2}$并不在$\mathbb{Q}$里。根据闭集的定义（包含所有极限点的集合），$\mathbb{Q}$不满足这个条件，所以它不是闭集。

当然不行。单点集${x} \subset \mathbb{R}^n$确实是无内部且闭的：

• 它的内部是空集，因为没有任何开球能完全包含在这个单点集里；
• 同时它是闭集，因为它的唯一极限点就是$x$本身，而$x$在集合里。

但这只是一个符合“无内部+闭集”的例子，只能说明“存在这样的集合”，却不能证明“所有无内部的子集都是闭集”。毕竟我们刚才已经找到了$\mathbb{Q}$这个反例，它无内部但不是闭集，直接推翻了“无内部则必闭”的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user319373