二阶线性微分方程$(D^2+2cD+k)y=0$后续问题：解的极限分析

针对方程 $\dfrac{d^2y}{dx2}+2k\dfrac{dy}{dx}+ly=0$ 的非平凡解，我整理的解题思路如下：

• 首先写出对应的特征方程：m² + 2km + l = 0，解这个二次方程可得特征根：
  $$m = -k \pm \sqrt{k^2 - l}$$

• 重点分析**选项(C)**的场景（即 $k^2 - l < 0$ 时）：
  此时特征根是一对共轭复根，方程的通解形式为：
  $$y = e^{-kx}\left(c_1\cos\left(x\sqrt{l - k^2}\right) + c_2\sin\left(x\sqrt{l - k^2}\right)\right)$$
  当 $x \to +\infty$ 时，余弦和正弦函数始终在[-1, 1]区间内有界，而指数项 $e^{-kx}$（默认 $k > 0$，这也是解趋于0的前提）会随着x增大趋近于0，因此整个解 $y(x)$ 的极限是0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mohan Sharma