环同态性质：证明Char(R')整除Char(R)的疑问

咱们先把这个问题拆解清楚——其实核心是结合环的特征的定义、环同态的性质，再理清“整除”在0和素数场景下的特殊约定，就能搞明白为啥$\text{Char}(R')$一定整除$\text{Char}(R)$了。

首先先明确环的特征的准确定义：对于含幺环$S$，它的特征$\text{Char}(S)$是满足$n \cdot 1_S = 0_S$的最小正整数$n$；如果不存在这样的正整数（也就是不管加多少次幺元都不会得到零元），那$\text{Char}(S)=0$。这里的$n \cdot 1_S$就是把幺元$1_S$自己加$n$次的意思。

另外要注意，题目里的$f$是含幺环的同态，所以必然满足$f(1_R)=1_{R'}$——这个性质是后续推导的关键。

接下来分两种核心情况讨论：

情况1：$\text{Char}(R)=0$ #

这时候，没有任何正整数$n$能让$n \cdot 1_R = 0_R$。咱们看$\text{Char}(R')$的两种可能：

• 如果$\text{Char}(R')=0$：咱们可以直接说“0整除0”，这在抽象代数的语境里是合理的约定（毕竟0可以写成0乘任何数）；
• 如果$\text{Char}(R')=p$（$p$是素数）：这时候$p \cdot 1_{R'}=0_{R'}$，而根据数论里的整除定义，只要存在整数$k$使得$a = b \cdot k$，就说$b$整除$a$。这里$0 = p \cdot 0$，所以$p$整除0完全成立。

情况2：$\text{Char}(R)=p$（$p$是素数） #

这时候，$p \cdot 1_R = 0_R$，而且没有比$p$更小的正整数能让幺元加完变成零元。

利用环同态的性质，咱们可以推导：
$$p \cdot 1_{R'} = p \cdot f(1_R) = f(p \cdot 1_R) = f(0_R) = 0_{R'}$$
这说明$\text{Char}(R')$肯定是满足$n \cdot 1_{R'}=0_{R'}$的正整数，所以它要么是0，要么是$p$的正因子。

因为$p$是素数，它的正因子只有1和$p$：

• 如果$\text{Char}(R')=p$：显然$p$整除$p$，没毛病；
• 如果$\text{Char}(R')=1$：这意味着$1_{R'}=0_{R'}$，此时$R'$是零环（所有元素都是零元），而1整除任何整数，包括$p$，当然成立；
• 如果$\text{Char}(R')=0$：还是回到之前的约定，0被$p$整除是成立的。

补充：为啥“0的整除”是合理的？ #

你疑惑的点应该就在这里——毕竟平时数论里很少说“素数整除0”或者“0整除0”，但在抽象代数的环特征讨论里，这个约定是必要且合理的：

• 任意正整数$n$都整除0，因为$0 = n \times 0$；
• 0整除0可以理解为“0是0的倍数”，适配特征为0的环之间的关系。

这样一来，不管$\text{Char}(R)$是0还是素数，$\text{Char}(R')$都能满足整除$\text{Char}(R)$的关系啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Qeew21