求证$T(M \times N) \cong T(M) \times T(N)$，求所构造映射的微分同胚性证明

嘿，你构造的这个映射F完全找对方向了！咱们一步步拆解，把它证成微分同胚就行——毕竟微分同胚的核心就是双射+自身光滑+逆映射光滑这三点，咱们挨个来搞定：

单射证明 #

假设F((m,n),X) = F((m',n'),X')，那根据映射定义：

• 首先有(m, (π₁)_{*,(m,n)}(X)) = (m', (π₁)_{*,(m',n')}(X'))，这直接推出m=m'；同理n=n'。
• 接下来(π₁)_{*,(m,n)}(X) = (π₁)_{*,(m,n)}(X')且(π₂)_{*,(m,n)}(X) = (π₂)_{*,(m,n)}(X')。这里要用到切空间的直和分解：T_{(m,n)}(M×N) ≅ T_mM ⊕ T_nN，而π₁_*和π₂_*刚好是这个直和空间到两个分量的投影映射。如果一个向量在两个分量上的投影都相等，那这个向量本身必然相等，也就是X=X'。

这样单射就证完了。

满射证明 #

任取((m,v),(n,w)) ∈ T(M)×T(N)，咱们直接构造原像：
定义X ∈ T_{(m,n)}(M×N)，对M×N上任意光滑函数f，让X(f) = v(f∘π₁) + w(f∘π₂)。

• 验证π₁_*(X)：对M上任意光滑函数g，π₁_*(X)(g) = X(g∘π₁) = v(g∘π₁∘π₁) + w(g∘π₁∘π₂)。注意π₁∘π₂是常值映射（把所有点映到m），所以g∘π₁∘π₂是常数，w作用在常数上是0，因此结果就是v(g)，也就是π₁_*(X)=v。
• 同理可得π₂_*(X)=w。

所以F((m,n),X) = ((m,v),(n,w))，满射得证。你之前猜测投影是淹没能用来证满射，其实也对——淹没的推前是满射，但直接构造原像会更直观。

用局部坐标来验证最直接：

• 取M上m点的局部坐标(U, φ=(x₁,...,x_k))，N上n点的局部坐标(V, ψ=(y₁,...,y_l))，那么M×N上(m,n)的局部坐标就是(U×V, φ×ψ=(x₁,...,x_k,y₁,...,y_l))。
• 切丛T(M×N)的局部坐标可以写成：对((m,n),X) ∈ T_{(m,n)}(M×N)，X能展开为X=Σa_i∂/∂x_i|_{(m,n)} + Σb_j∂/∂y_j|_{(m,n)}，所以T(M×N)的局部坐标是(x₁,...,x_k,y₁,...,y_l,a₁,...,a_k,b₁,...,b_l)。
• 而T(M)的局部坐标是(x₁,...,x_k,a₁,...,a_k)，T(N)的是(y₁,...,y_l,b₁,...,b_l)，所以T(M)×T(N)的局部坐标是(x₁,...,x_k,a₁,...,a_k,y₁,...,y_l,b₁,...,b_l)。

现在看F的局部坐标表达式：F((x,y,a,b)) = ((x,a), (y,b))——这本质就是坐标的重排，是线性的，显然是光滑映射。而光滑映射的局部坐标表示光滑的话，整体就光滑，所以F是光滑的。

先写出逆映射G: T(M)×T(N) → T(M×N)：G((m,v),(n,w)) = ((m,n),X)，其中X就是咱们刚才构造的那个满足π₁_*(X)=v、π₂_*(X)=w的切向量。

同样用局部坐标看：G的局部坐标表示是把T(M)×T(N)的坐标(x,a,y,b)映射到(x,y,a,b)，这同样是坐标重排，显然是光滑的。当然你也可以用光滑映射的定义验证：对T(M×N)上任意光滑函数h，h∘G是T(M)×T(N)上的光滑函数，结果也是一样的。

F是双射，自身光滑，逆映射也光滑，所以F是微分同胚，也就证明了T(M×N) ≅ T(M)×T(N)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M.B.