含负值的不等式求解：变量S的推导变形难题

我来帮你把这个推导补完，咱们一步步来，你前面的步骤完全没问题，接着往下推进就好～

首先你给出的原始不等式是：
$$QS\left(1+\frac{x_2}{S}\right)+\frac{2y_2}{S}<QS\left(1+\frac{x_1}{S}\right)+\frac{2y_1}{S}$$
已知条件：$Q<0$，$x_2>x_1>0$，$y_2>y_1>0$，$S>0$。

你已经完成的推导是对的，展开后消去两边的$QS$项：
$$QS+Qx_2+\frac{2y_2}{S}<QS+Qx_1+\frac{2y_1}{S}$$
$$\iff Q(x_2-x_1)<\frac{2}{S}(y_1-y_2)$$

接下来两边乘以-1，注意不等号方向要反转：
$$Q(x_1-x_2)>\frac{2}{S}(y_2-y_1)$$

现在继续处理：
先结合已知条件分析符号：

• $x_2>x_1$，所以$x_1-x_2 = -(x_2-x_1) < 0$
• $Q<0$，所以$Q(x_1-x_2)$是两个负数相乘，结果为正数
• $y_2>y_1$，所以$y_2-y_1>0$，加上$S>0$，右边$\frac{2}{S}(y_2-y_1)$也是正数

接下来把$S$移到左边（两边都是正数，不等号方向不变）：
$$Q(x_1-x_2) \times S > 2(y_2-y_1)$$

然后两边除以$Q(x_1-x_2)$——因为这个乘积是正数，所以不等号方向保持不变：
$$S > \frac{2(y_2-y_1)}{Q(x_1-x_2)}$$

我们还可以把分母的负号提出来，让表达式更直观：
因为$x_1-x_2 = -(x_2-x_1)$，代入后得到：
$$S > -\frac{2(y_2-y_1)}{Q(x_2-x_1)}$$

这里可以验证下符号：$Q<0$，所以$-Q>0$，$x_2-x_1>0$，$y_2-y_1>0$，右边整体是正数，和$S>0$的条件完全匹配，推导没问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user526463