关于Lebesgue外测度子集的球相交测度估计的本科作业求助

设$E\subset\mathbb R^{n$是Lebesgue外测度满足$0<m}(E)<\infty$的子集，$\alpha\in(0,1)$，需证明存在球$B$使得$m^(E\cap B)\ge \alpha m^*(B)$。

我是一名本科生，目前卡在这道作业题上，想向大家求助：

• 我之前见过类似问题的解答，似乎用到了Littlewood第一原理；
• 我也尝试阅读过不使用特征函数的Lebesgue密度定理证明，但没能完全理解，而且这一定理课堂上还没讲授，所以希望能找到不依赖Lebesgue密度定理的更初等的证明方法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者spenceryue