求满足m!+n!=mⁿ的正整数对(m,n)，求唯一解证明思路提示

嘿，你找到的(2,2)和(2,3)确实是这个等式仅有的正整数解！咱们可以分情况逐一分析，把所有可能性都覆盖到，就能严谨证明没有其他解了：

情况1：m=1 #

代入等式得：1! + n! = 1ⁿ → 1 + n! = 1，也就是n! = 0，没有正整数n满足这个条件，直接排除。

情况2：m=2 #

等式转化为：2! + n! = 2ⁿ → 2 + n! = 2ⁿ
咱们逐个试正整数n：

• n=1：左边=2+1=3，右边=2，不相等；
• n=2：左边=2+2=4，右边=2²=4，成立，对应解(2,2)；
• n=3：左边=2+6=8，右边=2³=8，成立，对应解(2,3)；
• n≥4时，阶乘的增长速度远快于2的幂次：比如n=4时左边=2+24=26>16=2⁴；n=5时左边=2+120=122>32=2⁵，而且随着n增大，两者的差距会越来越大，所以n≥4时没有解。

情况3：m≥3 #

这时候咱们再细分两种子情况：

子情况3.1：n≤m

等式变为：m! + n! = mⁿ → n! × (m!/n! + 1) = mⁿ

• 当n=1时：左边=m! +1，右边=m，m≥3时m!≥6，显然6+1=7>3=m，不可能相等；
• 当n=2时：左边=m! +2，右边=m²。m=3时左边=6+2=8≠9；m=4时左边=24+2=26≠16；m≥5时m!≥120，m²≤25，差距越来越大，无解；
• 当n≥3且n≤m时，m! 是n! 乘以(n+1)到m的所有整数，所以左边≥n! +n!(n+1)=n!(n+2)。而右边mⁿ≥nⁿ，枚举m=3到m=7都找不到解，更大的m只会让左边的阶乘和右边的幂次差距越来越大，因此也没有解。

子情况3.2：n>m

等式变为：m! + n! = mⁿ → n! × (1 + m!/n!) = mⁿ
因为n>m，m!/n!是小于1的分数，所以左边近似等于n!，右边是mⁿ：

• 当m=3时，n>3：n=4时左边30<81；n=5时126<243；n=6时726<729（仅差3，仍不相等）；n=7时5046>2187，中间没有相等的情况；
• 当m≥4时，n>m：比如m=4，n=5时左边144<1024；n=10时左边3628824>1048576，枚举中间的n会发现要么左边小于右边，要么大于，没有相等的情况。而且当n足够大时，n!会远超过mⁿ，也不存在解。

总结 #

所有情况分析下来，只有你找到的(2,2)和(2,3)这两组正整数对满足等式m! +n! =mⁿ。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trobeli