环域上Gagliardo-Niremberg不等式的证明问询

咱们先来梳理清楚已知条件和目标结论，再一步步推导：

已知前提 #

• 参数关系：给定参数满足
  $$\frac{1}{\tau}=a\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{d}\right)+\frac{1-a}{q},$$
  其中$\tau>0, p\geq 1, a\in [0,1], q\geq 1$且$d\geq 1$。
• 欧氏空间的Gagliardo-Nirenberg不等式（记为(E)）：对任意$u\in W^{{1,p}(\mathbb{R}}d)$，存在常数$C>0$使得
  $$|u|{L^\tau(\mathbb R^d)}\leq C|\nabla u|{L^p(\mathbb R^d)}a|u|_{L^q(\mathbb R^d)}{1-a}.\tag{E}$$

待证结论 #

对于环域$\mathcal D={x\in\mathbb R^d\mid r<|x|<R}$（$0<r<R<+\infty$），设$\bar u=\frac{1}{|\mathcal D|}\int_{\mathcal D}u$为$u$在$\mathcal D$上的均值，需证明：
$$|u-\bar u|{L^\tau(\mathcal D)}\leq C|\nabla u|{L^p(\mathcal D)}^a|u-\bar u|_{L^q(\mathcal D)}^{1-a},$$
其中$C>0$是不依赖于$u$的常数。

证明步骤 #

1. 构造零均值函数 #

令$v = u - \bar{u}$，显然$\int_{\mathcal{D}} v , dx = 0$，且$\nabla v = \nabla u$（均值是常数，梯度为0）。我们的目标转化为证明：
$$|v|{L^\tau(\mathcal{D})} \leq C |\nabla v|{L^{p(\mathcal{D})}}a |v|_{L^{q(\mathcal{D})}}{1-a}.$$

2. 延拓函数到全空间 #

将$v$做零延拓到整个$\mathbb{R}^d$，记延拓后的函数为$\tilde{v}$：
$$\tilde{v}(x) = \begin{cases}
v(x), & x\in\mathcal{D}, \
0, & x\notin\mathcal{D}.
\end{cases}$$

易知$\tilde{v}\in W^{{1,p}(\mathbb{R}}d)$（因为$v\in W^{1,p}(\mathcal{D})$，零延拓后梯度在$\mathcal{D}$外为0，满足弱导数定义），且有以下范数等价关系：

• $|\nabla \tilde{v}|{L^p(\mathbb{R}d)} = |\nabla v|{L^p(\mathcal{D})}$，梯度仅在$\mathcal{D}$内非零；
• $|\tilde{v}|{L^q(\mathbb{R}d)} = |v|{L^{q(\mathcal{D})}$，$|\tilde{v}|_{L}\tau(\mathbb{R}^d)} = |v|_{L^\tau(\mathcal{D})}$，同理仅$\mathcal{D}$内有非零值。

3. 应用欧氏空间的Gagliardo-Nirenberg不等式 #

对延拓后的$\tilde{v}$直接使用已知的不等式(E)，代入上面的范数关系，可得：
$$|v|{L^\tau(\mathcal{D})} = |\tilde{v}|{L^{\tau(\mathbb{R}}d)} \leq C |\nabla \tilde{v}|{L^p(\mathbb{R}d)}^a |\tilde{v}|{L^q(\mathbb{R}d)}^{1-a} = C |\nabla v|{L^{p(\mathcal{D})}}a |v|{L^{q(\mathcal{D})}}{1-a}.$$

4. 特殊情况验证 #

• 当$a=0$时，参数关系变为$\tau=q$，不等式简化为$|u-\bar{u}|{L^q(\mathcal{D})} \leq C |u-\bar{u}|{L^q(\mathcal{D})}$，取$C=1$显然成立；
• 当$a=1$时，参数关系对应Sobolev临界嵌入$\frac{1}{\tau} = \frac{1}{p} - \frac{1}{d}$，此时不等式退化为Poincaré-Sobolev不等式，对零均值函数自然成立，符合推导逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者idm