洛朗多项式环中B_S为整闭子环的S的充要条件问询

首先明确问题背景：
设$T=\mathbb{C}[x_1^{\pm 1}, \ldots, x_n^{\pm 1}]$是$n$元洛朗多项式环，$B \subset T$是一个子环，且$T$作为$B$-模是有限生成的。$S \subset \mathbb{Z}^{n$是包含$0$的加法封闭子集（即加法子幺半群），通过自然嵌入$\mathbb{Z}}n \to T$（把$\mathbf{m}=(m_1,\dots,m_n)$对应到$x^{\mathbf{m}=x_1}{m_1}\cdots x_n^{m_n}$）将$S$视为$T$的子集，$B_S$是$S$在$T$中的$B$-张成子环，也就是$B_S = \bigoplus_{\mathbf{m} \in S} B x^\mathbf{m}$。我们要找$S$满足的充要条件，使得$B_S$是整闭子环。

核心结论 #

$B_S$是整闭子环的充要条件是：

$S$是$\mathbb{Z}^n$中的饱和加法子幺半群

这里的“饱和”定义是：对任意$\mathbf{m} \in \mathbb{Z}^n$和正整数$k$，如果$k\mathbf{m} \in S$，那么$\mathbf{m} \in S$。

推导验证（必要性+充分性） #

必要性：若$B_S$整闭，则$S$必饱和 #

假设$B_S$是整闭的，咱们取任意$\mathbf{m} \in \mathbb{Z}^n$，以及正整数$k$，使得$k\mathbf{m} \in S$。这时候$x^{\mathbf{m}$是多项式$t}k - x^{k\mathbf{m}} \in B_S[t]$的根——因为$x^{k\mathbf{m}} \in B_S$，所以这个多项式的系数都在$B_S$里，而且是首一的。

根据整闭的定义，整环中的整元必须属于自身，所以$x^{\mathbf{m}$必须在$B_S$里。而$B_S$的$B$-基就是${x}\mathbf{s} \mid \mathbf{s} \in S}$，所以$\mathbf{m}$必然属于$S$。这就证明了$S$是饱和的。

充分性：若$S$是饱和加法子幺半群，则$B_S$整闭 #

假设$S$是饱和的加法子幺半群，首先$T$是整环，所以$B_S$作为$T$的子环也是整环，咱们需要证明它整闭：也就是对任意$\alpha \in T$，如果$\alpha$是某个首一多项式$f(t) \in B_S[t]$的根，那么$\alpha \in B_S$。

首先，因为$T$是有限生成$B$-模，而$B \subset B_S \subset T$，所以$T$也是有限生成$B_S$-模。接下来，把$\alpha$写成洛朗多项式的形式：$\alpha = \sum_{\mathbf{m} \in \mathbb{Z}^n} b_\mathbf{m} x^\mathbf{m}$，其中只有有限个$b_\mathbf{m} \in \mathbb{C}$是非零的。

因为$\alpha$整于$B_S$，存在首一多项式$f(t) = t^k + \sum_{i=0}^{k-1} c_i t^i$，其中每个$c_i = \sum_{\mathbf{s} \in S} b_{i,\mathbf{s}} x^\mathbf{s}$（$b_{i,\mathbf{s}} \in B$）。代入$\alpha$得$f(\alpha)=0$，即：
$$\alpha^k = -\sum_{i=0}^{k-1} c_i \alpha^i$$

现在看两边洛朗多项式的支撑集（非零系数对应的$\mathbb{Z}^{n$元素）。左边$\alpha}k$的支撑集里的元素都是$\alpha$支撑集元素的$k$次和，取其中某个元素$\mathbf{m}$（来自$\alpha$的支撑集），那么$k\mathbf{m}$必然出现在右边的支撑集里。右边的支撑集是$\bigcup_{i=0}^{k-1} (S + i \cdot \text{supp}(\alpha))$，所以存在$\mathbf{s} \in S$和$\mathbf{m}_1,\dots,\mathbf{m}_i \in \text{supp}(\alpha)$，使得$k\mathbf{m} = \mathbf{s} + \mathbf{m}_1 + \dots + \mathbf{m}_i$。

由于$S$是饱和的加法子幺半群，它生成的$\mathbb{Q}^n$中的凸锥$C = \mathbb{Q}_{\geq 0} S$满足$S = C \cap \mathbb{Z}^n$。上面的等式意味着$k\mathbf{m} \in C$，所以$\mathbf{m} \in C$（因为$C$是凸锥），因此$\mathbf{m} \in S$。这说明$\alpha$的所有支撑元素都在$S$里，也就是$\alpha \in B_S$，充分性得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jon Paprocki