非恒常三次可微函数满足f(1+1/n)=1，求f''(1)的值

算力阿峰

2026-5-19

问题解答：求( f''(1) )的值

别担心，这个问题可以通过辅助函数构造+泰勒展开的思路来解决，我一步步给你拆解：

步骤1：转化问题，构造辅助函数

令 ( g(x) = f(x) - 1 )，这样题目条件就转化为：

对所有非零整数n，( g\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 0 )，且g是非恒常的三次可微函数（继承f的性质）。

我们的目标等价于求 ( g''(1) )，因为 ( f''(1) = g''(1) )。

步骤2：分析g(x)在x=1处的连续性与一阶导数

因为g是可微函数（三次可微必然可微），所以g在x=1处连续。而当n→∞时，( 1 + \frac{1}{n} \to 1 )，因此：
( g(1) = \lim_{n \to \infty} g\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0 )，即x=1是g(x)的零点。

再根据导数定义求( g'(1) )：
( g'(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{g\left(1 + \frac{1}{n}\right) - g(1)}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{0 - 0}{\frac{1}{n}} = 0 )

步骤3：利用泰勒展开推导二阶导数

因为g是三次可微函数，所以在x=1处可以展开到三阶泰勒级数：
( g(x) = g(1) + g'(1)(x-1) + \frac{g''(1)}{2}(x-1)^2 + \frac{g'''(1)}{6}(x-1)^3 + o\left((x-1)^3\right) )

代入( g(1)=0 )、( g'(1)=0 )的结论，简化为：
( g(x) = \frac{g''(1)}{2}(x-1)^2 + \frac{g'''(1)}{6}(x-1)^3 + o\left((x-1)^3\right) )

现在把 ( x = 1 + \frac{1}{n} ) 代入上式（此时( g(x)=0 )）：
( 0 = \frac{g''(1)}{2} \cdot \frac{1}{n^2} + \frac{g'''(1)}{6} \cdot \frac{1}{n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) )

两边同时乘以 ( n^2 )，得到：
( 0 = \frac{g''(1)}{2} + \frac{g'''(1)}{6n} + o\left(\frac{1}{n}\right) )

最后让n→∞，右边的极限就是 ( \frac{g''(1)}{2} )，而左边始终是0，因此必须有 ( \frac{g''(1)}{2} = 0 )，即 ( g''(1) = 0 )。