证明对称群S₈中存在同构于Hol(C₈)的子群

咱们一步步来推导这个结论：

首先，先明确已知条件：

• 群 G = Hol(C₈) = C₈ ⋊_φ Aut(C₈)（其中φ是恒等映射），这是8阶循环群的全形。
• f(x) ∈ ℚ[x]是8次不可约多项式，L是它在ℚ上的分裂域，且伽罗瓦群Gal(L/ℚ) ≅ G。

核心观察：伽罗瓦群到对称群的嵌入 #

对于分裂域L，设f(x)在L中的全部根为α₁, α₂, …, α₈（在特征0的域ℚ上，不可约多项式无重根，所以这8个根互不相同）。

伽罗瓦群Gal(L/ℚ)中的每个元素σ，都会将f(x)的根映射到f(x)的根（因为σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0）。基于这个作用，我们可以定义一个映射：

ψ: Gal(L/ℚ) → S₈

其中ψ(σ)是满足σ(α_i) = α_{ψ(σ)(i)}的置换。

证明ψ是单同态 #

1. 同态性质：对于任意σ, τ ∈ Gal(L/ℚ)，有ψ(στ) = ψ(σ)ψ(τ)。
   原因是：(στ)(α_i) = σ(τ(α_i)) = σ(α_{ψ(τ)(i)}) = α_{ψ(σ)(ψ(τ)(i))} = α_{(ψ(σ)ψ(τ))(i)}，完全符合置换的乘法规则。

2. 单射性质：如果ψ(σ)是S₈中的单位置换，意味着σ(α_i) = α_i对所有i=1,…,8成立。而L = ℚ(α₁, …, α₈)（分裂域由根生成），所以σ固定L中的所有元素，即σ是伽罗瓦群中的单位元。这说明ker(ψ) = {1}，因此ψ是单射。

结论 #

因为ψ是单同态，所以Gal(L/ℚ)同构于S₈的子群ψ(Gal(L/ℚ))。又因为题目中给出Gal(L/ℚ) ≅ G，所以G必然同构于S₈的这个子群。这就证明了S₈中存在与G同构的子群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者siwar