指数随机变量的和、最值分布问题咨询（含部分解答）

嘿，很高兴帮你验证和拆解这个问题！先给你点个赞，你对(a)的结论完全正确，咱们一步步来把整个问题说清楚：

(a) 10个独立指数随机变量和的分布 #

首先，每个$y_i$是均值为1的指数随机变量，对应的速率参数$\lambda=1$（因为指数分布的均值公式是$\mathbb{E}[Y] = 1/\lambda$，所以$\lambda=1/\text{均值}=1$）。

对于$n$个独立同分布的指数随机变量（速率参数为$\lambda$），它们的和服从伽马分布（Gamma Distribution）：

• 形状参数$k = n = 10$
• 速率参数$\theta = \lambda = 1$

也就是说，这10个变量的和$S = y_1 + y_2 + ... + y_{10}$服从$\text{Gamma}(k=10, \lambda=1)$分布。

简单验证推导 #

咱们用矩生成函数（MGF）来快速验证：

• 单个指数变量的MGF是$M_Y(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t} = \frac{1}{1 - t}$（$t < 1$）
• 独立变量和的MGF是各个变量MGF的乘积：$M_S(t) = \left(\frac{1}{1 - t}\right)^{10}$
  而伽马分布$\text{Gamma}(k, \lambda)$的MGF正好是$\left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^k$，代入$k=10$、$\lambda=1$，和上面的结果完全一致，所以你的结论是对的！

(b) 第一个/最后一个烧坏灯泡的寿命密度函数 #

这里的灯泡寿命就是独立的指数变量，咱们分别推导最小值（第一个烧坏）和最大值（最后一个烧坏）的密度函数：

1. 第一个烧坏灯泡的寿命（最小值$Y_{\text{min}} = \min(y_1,y_2,...,y_{10})$） #

首先求累积分布函数（CDF）：

$P(Y_{\text{min}} > t) = P(\text{所有灯泡寿命都大于}t)$
因为变量独立，所以可以拆成乘积：
$P(Y_{\text{min}} > t) = \prod_{i=1}^{10} P(y_i > t)$
单个指数变量的生存函数是$P(y_i > t) = e^{-\lambda t} = e^{-t}$，所以：
$P(Y_{\text{min}} > t) = (e^{-t}){10} = e^{-10t}$

对应的CDF是$F_{Y_{\text{min}}}(t) = 1 - P(Y_{\text{min}} > t) = 1 - e^{-10t}$（$t > 0$）

对CDF求导得到概率密度函数（PDF）：
$$f_{Y_{\text{min}}}(t) = 10e^{-10t}, \quad t > 0$$
这其实是速率参数为10的指数分布——多个独立指数变量的最小值依然是指数分布，速率参数等于所有变量速率参数的和，这里每个$\lambda=1$，总和就是10。

2. 最后一个烧坏灯泡的寿命（最大值$Y_{\text{max}} = \max(y_1,y_2,...,y_{10})$） #

同样先求CDF：

$P(Y_{\text{max}} \leq t) = P(\text{所有灯泡寿命都小于等于}t)$
利用独立性拆成乘积：
$P(Y_{\text{max}} \leq t) = \prod_{i=1}^{10} P(y_i \leq t)$
单个指数变量的CDF是$P(y_i \leq t) = 1 - e^{-t}$，所以：
$F_{Y_{\text{max}}}(t) = (1 - e^{-t}){10}$（$t > 0$）

对CDF求导得到PDF：
$$f_{Y_{\text{max}}}(t) = 10(1 - e^{-t})9 \cdot e^{-t}, \quad t > 0$$
这个结果可以理解为：恰好有9个灯泡寿命≤t，结合乘积法则和链式求导得到最终的密度表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者immaprogrammingnoob