求证复数乘积z=(1²+i)(2²+i)…(n²+i)的实部大于0，求解题提示

给你几个可以尝试的方向，帮你突破瓶颈：

• 从辐角求和的角度切入：每个因子$k^2+i$是复平面第一象限的复数，它的辐角$\theta_k = \arctan\left(\frac{1}{k^2}\right)$，满足$0 < \theta_k < \frac{\pi}{2}$。你可以利用反正切的三角恒等式（比如$\arctan A - \arctan B = \arctan\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$）对$\sum_{k=1}^n \theta_k$做望远镜求和，最终会发现总辐角$\theta = \sum_{k=1}^n \theta_k$的范围落在$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$内，这样$\cos\theta > 0$，结合$\mathrm{Re}(z) = |z|\cos\theta$且$|z|>0$，就能得出结论。
• 回到你定义的实系数多项式$P(x)=(1+x)(2+x)\cdots(n+x)$，利用实系数多项式的共轭性质：$\overline{P(w)} = P(\overline{w})$（因为实系数多项式的共轭等于共轭代入多项式）。你已经知道$z = \prod_{k=1}^n (k^2+i)$，而$\overline{z} = \prod_{k=1}^n (k^2 -i)$，尝试把$\mathrm{Re}(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}$和$P(a)P(-a)$关联起来，或者直接展开$P(x)P(-x) = \prod_{k=1}^n (k^2 - x^2)$，代入合适的$x$值来分析$z$的实部符号。
• 另一个小技巧：考虑将每个$k^2+i$写成$k2\left(1 + \frac{i}{k^2}\right)$，然后对乘积取复对数，将乘积转化为求和形式，再分析实部对应的和的范围，不过这个方法可能不如前两个直接。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rafa