如何计算定积分∫₀¹xᵃ(c-x)ᵇdx？（a,b,c为常数）

数据老陈

2026-5-19

求解定积分 $\int_{0}^{1} x^a (c-x)^b dx$

嘿，你已经找对了方向——当$c=1$时这个积分就是Beta函数$B(a+1,b+1)$，那$c≠1$的情况其实只需要做个变量替换就能关联到你熟悉的形式，分两种常见场景来说明：

当 $c > 1$ 时

我们做变量替换：$t = \frac{x}{c}$，这样$x = ct$，$dx = cdt$，积分上下限从$x=0→1$变成$t=0→\frac{1}{c}$。把这些代入原积分：
$$
\begin{align*}
\int_{0}^{1} x^a (c-x)^b dx &= \int_{0}^{\frac{1}{c}} (ct)^a (c - ct)^b \cdot c dt \
&= c^a \cdot c^b \cdot c \int_{0}^{\frac{1}{c}} t^a (1-t)^b dt \
&= c^{a+b+1} \cdot B\left(a+1, b+1, \frac{1}{c}\right)
\end{align*}
$$
这里的$B(z,w,x)$是不完全Beta函数，它和完全Beta函数的关系是：
$$
B(z,w,x) = \frac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)} I_x(z,w)
$$
其中$I_x(z,w)$是正则化不完全Beta函数，很多数学工具都有直接计算的接口。

当 $0 < c < 1$ 时

这时候$x$到1的时候$c-x$会变成负数，如果$b$不是整数的话会涉及复数值，我们可以先把积分拆成两部分：
$$
\int_{0}^{1} x^a (c-x)^b dx = \int_{0}^{c} x^a (c-x)^b dx + \int_{c}^{1} x^a (c-x)^b dx
$$
第一部分积分做替换$t = \frac{x}{c}$，直接就能转化为标准的完全Beta函数：
$$
\int_{0}^{c} x^a (c-x)^b dx = c^{a+b+1} B(a+1, b+1)
$$
第二部分里，我们把$c-x$写成$-(x-c)$，所以：
$$
\int_{c}^{1} x^a (c-x)^b dx = (-1)^b \int_{c}^{1} x^a (x-c)^b dx
$$
再做替换$t = \frac{x - c}{1 - c}$，让积分上下限回到0到1，代入后得到的积分可以用超几何函数$_2F_1$来表示，具体形式是：
$$
(-1)^b (1 - c)^{b+1} c^a B(b+1, a+1) , _2F_1\left(-a, b+1; a+b+2; \frac{1 - c}{c}\right)
$$