关于有界集确界不等式的证明及与黎曼可积性的关联问询

我来一步步帮你拆解这个问题，先搞定不等式的证明，再聊聊它和黎曼可积的关联~

首先我们先明确几个符号：设 $M = \sup_{x \in E} x$（$E$的上确界），$m = \inf_{x \in E} x$（$E$的下确界），$M' = \sup_{x \in E} |x|$（$E$中元素绝对值的上确界），$m' = \inf_{x \in E} |x|$（$E$中元素绝对值的下确界）。我们的目标是证明 $M - m \geq M' - m'$。

根据有界集$E$中元素的符号，分三种情况讨论最清晰：

• 情况1：$E$中所有元素都是非负数（即 $m \geq 0$）
  此时对任意$x \in E$，$|x| = x$，所以$M' = M$，$m' = m$。代入后左边$M - m$和右边$M' - m'$完全相等，不等式自然成立。

• 情况2：$E$中所有元素都是非正数（即 $M \leq 0$）
  此时对任意$x \in E$，$|x| = -x$。根据上确界和下确界的性质：
  $M' = \sup_{x \in E} (-x) = -\inf_{x \in E} x = -m$，
  $m' = \inf_{x \in E} (-x) = -\sup_{x \in E} x = -M$。
  计算右边：$M' - m' = (-m) - (-M) = M - m$，和左边相等，不等式成立。

• 情况3：$E$中既有正数又有负数（即 $m < 0 < M$）
  这时候$M'$必然是$\max(M, -m)$（绝对值的上确界要么是$E$中最大的正数，要么是最小负数的绝对值，取两者中更大的那个），而$m' \geq 0$（因为绝对值是非负的）。
  我们对比两边：
  左边是$M - m = M + (-m)$（因为$m$是负数，$-m$是正数，两者相加是两个正数的和）；
  右边是$M' - m' \leq M'$（因为减去非负的$m'$，结果不会比$M'$大），而$\max(M, -m) \leq M + (-m)$（两个正数的和肯定大于等于其中任意一个），所以$M' - m' \leq M' \leq M - m$，不等式成立。

三种情况全部覆盖，这个不等式就证完啦。

首先回忆黎曼可积的充要条件：函数$f$在区间$[a,b]$上黎曼可积，当且仅当对任意$\epsilon > 0$，存在$[a,b]$的一个分割$P = {a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b}$，使得对应的振幅和$\sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i < \epsilon$。这里的$\omega_i(f) = \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x) - \inf_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$，是$f$在第$i$个小区间上的振幅（上确界减下确界）。

现在看$|f|$的振幅：对每个小区间$[x_{i-1},x_i]$，设$E_i = {f(x) | x \in [x_{i-1},x_i]}$，那么$|f|$在这个小区间的振幅$\omega_i(|f|) = \sup_{y \in E_i} |y| - \inf_{y \in E_i} |y|$。

根据我们刚才证明的结论，对每个有界集$E_i$，都有$\omega_i(|f|) \leq \omega_i(f)$。

那$|f|$的振幅和就满足：
$$\sum_{i=1}^n \omega_i(|f|) \Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i$$

因为$f$是黎曼可积的，所以对任意$\epsilon > 0$，总能找到一个分割$P$，使得$\sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i < \epsilon$。那么对应的$|f|$的振幅和也会小于$\epsilon$，完全满足黎曼可积的充要条件，所以$|f|$也是黎曼可积的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user380605