根系Weyl群W中心中非单位元z的阶：求证其阶为2

设 $z \in Z(W) \setminus {\text{id}}$，其中 $W$ 是某根系的Weyl群，我想要证明 $z$ 的阶为2，以下是我的证明思路：

• 由于 $z \in \text{GL}(E)$ 且保持根系 $\Phi$ 不变，再结合 $z$ 属于 $W$ 的中心这一事实，根据相关结论可知，对所有 $\alpha \in \Phi$，有：
  $$z\sigma_{\alpha}z^{-1} = \sigma_{z(\alpha)} = \sigma_{\alpha}$$

• 基于上述等式，我们可以推导如下：
  \begin{align}
  z\sigma_{\alpha}z^{-1}(\alpha) &= \sigma_{\alpha}(\alpha) = -\alpha \nonumber\
  &= \sigma_{z(\alpha)}(\alpha)...
  \end{align}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Auclair