构造双射函数的陪域：验证给定陪域S的正确性

咱们先明确核心逻辑：要让函数$h:\mathbb{N}\rightarrow S$成为双射，$S$必须恰好等于$h$的像集——毕竟双射要求既是单射（每个元素只被映射一次）又是满射（$S$里的每个元素都能被$h$映射到），陪域必须和像集完全匹配。

先拆解$h$的映射结果：

• 当$n$是偶数时，$h(n)=n$，也就是把偶数自然数直接映射为自身；
• 当$n$是奇数时，$h(n)=-2n$，也就是把奇数自然数映射为形如$-2,-6,-10,\dots$的负偶数（可以写成$-4k+2$，$k\in\mathbb{N}$）。

现在分两种常见的$\mathbb{N}$定义来验证你的结论：

情况1：$\mathbb{N}$包含0（即$\mathbb{N}={0,1,2,3,\dots}$） #

此时$h(0)=0$（因为0是偶数），所以0必须属于$S$。但你给出的$S$特意去掉了0，这就导致$h$不是满射（0不在$S$里，但$h$能映射出0），所以你的结论不正确。

情况2：$\mathbb{N}$不包含0（即$\mathbb{N}={1,2,3,\dots}$） #

此时$h$的像集是：

• 正偶数集合：${2,4,6,\dots}$（来自偶数自然数的映射）；
• 负偶数中的${-2,-6,-10,\dots}$（来自奇数自然数的映射）。

而你给出的$S={2k:k\in\mathbb{Z}}\setminus{-4k:k\in\mathbb{N}}\setminus{0}$，正好就是所有偶数去掉0和${-4,-8,-12,\dots}$，和$h$的像集完全一致：

• 单射验证：如果$h(a)=h(b)$，要么都是正偶数（则$a=b$，因为偶数自然数映射为自身），要么都是负偶数（则$-2a=-2b\Rightarrow a=b$），正、负偶数不可能相等，所以单射成立；
• 满射验证：对任意$s\in S$，若$s$是正偶数，直接取$n=s\in\mathbb{N}$，$h(n)=s$；若$s$是形如$-4k+2$的负偶数，取$n=2k-1\in\mathbb{N}$，$h(n)=-2(2k-1)=s$，所以满射成立。

这种情况下你的结论是正确的。

总结来说：你的结论是否成立，关键取决于自然数集$\mathbb{N}$的定义——如果$\mathbb{N}$不含0，结论正确；如果$\mathbb{N}$包含0，结论错误（因为0必须在$S$中）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil