任意拓扑空间中的道路分支是否必然为开集？求反例

嘿，你完全正确！在任意拓扑空间中，道路分支并不一定是开集，局部连通空间里道路分支确实是开集，但在非局部连通的空间里，我们很容易找到反例。下面给你几个经典的例子，帮你直观理解：

反例1：有理数集ℚ（配备标准拓扑） #

在ℚ的标准拓扑中，任意两个不同的有理数之间都无法用道路连接。原因很简单：道路是从闭区间[0,1]到ℚ的连续映射，而[0,1]是连通集，连续映射下连通集的像必然也是连通集。但ℚ中唯一的连通子集就是单点集——你总能找到无理数把两个不同的有理数分开。

所以ℚ的每个单点集都是一个道路分支，但单点集在ℚ的标准拓扑里不是开集：ℚ中的开集都是实数轴上开区间与ℚ的交集，这类集合必然包含无穷多个有理数，不可能只包含一个点。

反例2：拓扑学家的正弦曲线 #

考虑拓扑空间X = {(x, sin(1/x)) | x ∈ (0,1]} ∪ {(0,0)}，也就是“拓扑学家的正弦曲线”（把(0,1]上的正弦曲线加上原点）。

这个空间的道路分支有两个：

• 原点{(0,0)}本身是一个道路分支（你无法构造一条从原点到曲线上任意一点的连续道路，因为曲线在原点附近无限振荡）；
• 曲线部分{(x, sin(1/x)) | x ∈ (0,1]}是另一个道路分支（它是连通集(0,1]的连续像，因此自身连通，且内部任意两点可以用道路连接）。

其中，原点这个道路分支是单点集，在X中不是开集：任何包含原点的开邻域（作为X的子空间开集）都必须和曲线部分相交，无法只包含原点一个点。

反例3：Sorgenfrey直线（下限拓扑） #

Sorgenfrey直线是实数集ℝ配备下限拓扑，也就是所有形如[a,b)的区间构成拓扑基。

在这个空间里，任意两个不同的点都无法用道路连接：假设存在从[0,1]到Sorgenfrey直线的连续映射f，使得f(0)=a，f(1)=b ≠ a，不妨设a < b。由于[0,1]是连通集，f([0,1])也必须是连通集，但Sorgenfrey直线中的连通子集只能是单点集（比如取开集(-∞, b)和[a, +∞)，它们分离了a和b）。

因此Sorgenfrey直线的道路分支都是单点集，而单点集在这个拓扑里不是开集——开集都是[a,b)这类区间的并，无法仅包含单个点。

关键结论 #

道路分支是开集的前提是空间是局部连通空间：局部连通空间中每个点都有一个连通的邻域，这个邻域必然包含在该点的道路分支中，因此道路分支是开集。但在非局部连通空间中，道路分支完全可以是闭集、既不开也不闭的集合，甚至单点集（如上面的例子）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者luthien