15张含4次品CD不放回抽10次，最后次品在第10次的概率求解

核心逻辑 #

要满足“最后一个次品在第10次被抽到”，必须同时达成两个条件：

• 第10次抽取的是次品；
• 前9次抽取中恰好抽到3个次品（因为总共有4个次品，第10次是最后一个，所以前9次得抽完剩下的3个）。

分步计算 #

方法一：分步概率法 #

你一开始计算的是前3次抽中次品、第4-9次抽中正品、第10次抽中次品这一种特定顺序的概率，记为$P$：

P = (4/15) × (3/14) × (2/13) × (11/12) × (10/11) × (9/10) × (8/9) × (7/8) × (6/7) × (1/6)

化简后$P = \frac{4×3×2×1}{15×14×13×12} = \frac{1}{1365}$。

但实际上，前9次中3个次品的位置可以是任意的，总共有$C_{9}^{{3}$种不同的位置组合（从9个位置里选3个放次品），计算得$C_{9}}{3} = \frac{9×8×7}{3×2×1} = 84$。

因此，最终的概率是单种顺序的概率乘以位置组合数：

总概率 = P × C_{9}^{3} = (1/1365) × 84 = 4/65 ≈ 0.0615

方法二：组合数法 #

我们也可以用排列组合的思路直接计算：

• 总情况：从15张CD中不放回抽取10张的总排列数为$A_{15}^{10} = 15×14×13×...×6$；
• 符合条件的情况：
  1. 第10次必须选次品，有4种选择；
  2. 前9次需要从剩下的3个次品和11个正品中选3个次品、6个正品，并排列，即$C_{9}^{{3}×3!×A_{11}}{6}$（$C_{9}^{{3}$选位置，$3!$排次品，$A_{11}}{6}$排正品）。

概率计算公式为：

总概率 = (4 × C_{9}^{3} × 3! × A_{11}^{6}) / A_{15}^{10}

化简后同样得到$\frac{4}{65}$。

总结 #

两种方法最终结果一致，核心是要考虑前9次中次品位置的所有可能组合，而不是只固定前3次为次品。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者vikash tiwari