立方体位置变换方法及染色重排全错位计数技术问询

想要改变立方体的位置，其实有不少直观的方法，常见的包括：

• 平移：直接把立方体在桌面上滑动，或者拿起后放到桌面的其他位置，单纯改变它的空间坐标位置。
• 旋转变换：
  • 绕垂直桌面的轴旋转：比如抓着立方体顶面，绕上下底面中心的连线转动，放回后位置没变，但朝向变了。
  • 绕平行桌面的轴旋转：比如绕着立方体的一条水平棱翻转，或者绕着对面侧面中心的连线旋转，既改变朝向，也可能换了接触桌面的面。
• 镜像翻转：把立方体拿起后做“翻面”操作（比如让原来的底面朝上），放回后位置不变，但面的排列是镜像对称的（这种属于反射变换，和旋转的效果不一样）。
• 组合操作：比如先把立方体平移到另一个位置，再旋转调整朝向；或者先翻转再旋转，多种基础操作组合起来改变位置和朝向。

咱们先理清楚前提：当你把立方体拿起翻转放回原位置，所有能实现的不同面置换都属于立方体的旋转对称群，总共有24种不同的旋转方式（毕竟立方体通过旋转能得到24种不同的朝向）。现在要找的是其中没有任何一个面还留在原来位置的情况，也就是“全错位”的旋转。

我们可以把这些旋转分类分析：

• 先排除那些会让至少一个面留在原位的旋转：
  • 恒等旋转（说白了就是没动）：1种，所有面都在原位，直接排除。
  • 绕对面中心连线的轴转90°/270°：有3个这样的轴（比如上下、前后、左右面中心的连线），每个轴对应2种旋转方向，总共6种。这种旋转会让两个对面保持不动，不符合要求。
  • 绕对面中心连线的轴转180°：同样3个轴，各1种旋转，共3种。这种旋转也会让两个对面留在原位，剩下四个面两两交换，也不符合。
• 剩下的就是符合“无颜色在原位置”的旋转：
  • 绕对棱中点连线的轴转180°：这样的轴有6个（比如前面上边棱和后面下边棱的中点连线），每个轴对应1种旋转，共6种。这种旋转会把所有面两两交换，没有任何一个面留在原来的位置。
  • 绕对角顶点连线的轴转120°/240°：这样的轴有4个（比如立方体左上角顶点和右下角顶点的连线），每个轴有2种旋转方向，共8种。这种旋转会把三个相邻面循环置换，另外三个相邻面也循环置换，同样没有面留在原位。

把符合条件的数量加起来：6 + 8 = 14种。所以答案是14种。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shuryu Kisuke