分段函数下的依分布收敛：μ=1时√n(g(Sₙ)-g(μ))收敛性探讨

先把问题里的核心定义和已知条件理清楚：

• 独立同分布序列${X_i}$满足$\mathbb{E}(X_i)=1$，$\text{Var}(X_i)=1$
• 样本均值$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，根据中心极限定理，$\sqrt{n}(S_n - 1)$依分布收敛到标准正态随机变量$Z \sim N(0,1)$
• 分段函数$g(x)$的定义：
  $$ g(x) = \begin{cases} x & \text{if } x < 1 \ 2x-1 & \text{if } x \geq 1 \end{cases} $$

因为$g(x)$在$x=1$处不可导（左导数为1，右导数为2），常规delta方法直接失效，得直接拆解$\sqrt{n}(g(S_n)-g(1))$的表达式来分析：

首先计算$g(1)=2*1-1=1$，所以$\sqrt{n}(g(S_n)-g(1))$可以分两种情况：

• 当$S_n < 1$时，$g(S_n)-1 = S_n -1$，对应$\sqrt{n}(g(S_n)-1) = \sqrt{n}(S_n -1)$
• 当$S_n \geq 1$时，$g(S_n)-1 = 2S_n -1 -1 = 2(S_n -1)$，对应$\sqrt{n}(g(S_n)-1) = 2\sqrt{n}(S_n -1)$

令$Z_n = \sqrt{n}(S_n -1)$，已知$Z_n \xrightarrow{d} Z \sim N(0,1)$，那么$\sqrt{n}(g(S_n)-g(1))$可以等价写成：
$$ \sqrt{n}(g(S_n)-g(1)) = \begin{cases} Z_n & \text{if } Z_n < 0 \ 2Z_n & \text{if } Z_n \geq 0 \end{cases} $$

接下来通过CDF的极限验证依分布收敛性：
对于任意实数$t$，计算$\lim_{n \to \infty} P\left(\sqrt{n}(g(S_n)-g(1)) \leq t\right)$：

1. 当$t < 0$时：
   此时只有$Z_n < 0$的情况会满足$\sqrt{n}(g(S_n)-g(1)) \leq t$，即$P\left(\sqrt{n}(g(S_n)-g(1)) \leq t\right) = P(Z_n \leq t)$，极限为$\Phi(t)$（$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数）。
2. 当$t \geq 0$时：
   满足条件的情况分为两部分：$Z_n < 0$（此时$\sqrt{n}(g(S_n)-g(1))=Z_n <0 \leq t$），以及$0 \leq Z_n \leq t/2$（此时$2Z_n \leq t$）。
   所以概率为$P(Z_n < 0) + P(0 \leq Z_n \leq t/2)$，极限为$P(Z <0) + P(0 \leq Z \leq t/2) = \frac{1}{2} + \left(\Phi(t/2) - \frac{1}{2}\right) = \Phi(t/2)$。

我们可以定义一个随机变量$Y$，其累积分布函数为：
$$ F_Y(t) = \begin{cases} \Phi(t) & t < 0 \ \Phi(t/2) & t \geq 0 \end{cases} $$
这个CDF在$t=0$处连续（左右极限都是$\frac{1}{2}$），所有点都是连续点。根据依分布收敛的定义，$\sqrt{n}(g(S_n)-g(1))$依分布收敛到$Y$，其中$Y$的分布可以描述为：当$Z<0$时$Y=Z$，当$Z \geq0$时$Y=2Z$（$Z \sim N(0,1)$）。

结论：当$\mu=1$时，$\sqrt{n}(g(S_n)-g(\mu))$存在依分布收敛的极限，极限分布是上述定义的$Y$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者is it normal