分数与实数进制下实数的表示问题探究

嘿，这个问题真的戳中了进位制的本质——我们平时习以为常的整数基底（十进制、二进制），居然能拓展到有理数甚至实数基底，这里面的门道可不少。我来拆解一下这个问题，结合已有的研究结论聊聊：

先回顾整数基底的基础背景 #

首先明确我们的起点：当$n>1$是自然数时，任何实数$r$都能写成这样的展开式：
$$\sum_{i=-\infty}^{\infty}a_ini$$
其中每个系数$a_i \in {0,1,\dots,n-1}$——这就是我们天天用的进位制，比如十进制$n=10$、二进制$n=2$，没啥毛病。

现在问题延伸到两个方向：

• 当$n$是有理数（比如$n=\frac{3}{2}$）时，需要多大的系数集合才能实现类似的全实数表示？
• 当系数集合放宽到$\mathbb{Z}$时是否可行？最小的系数集合又是什么？

1. 有理数基底的典型例子：$n=\frac{3}{2}$ #

先拿$\frac{3}{2}$这个具体例子说，它属于一类叫Pisot数的特殊数（简单说就是大于1的代数整数，它的共轭根绝对值都小于1），这类数的展开性质已经被研究得比较透彻。

如果还照搬整数基底的系数集合（比如${0,1}$，因为$n-1=\frac{1}{2}$不是整数，原集合肯定不行），是没法覆盖所有实数的。但其实不用把系数集合拉得太大——实际上，对于$\frac{3}{2}$，用${0,1}$就能表示所有非负实数，只是需要无限展开，而且有些数会有多个合法的展开式（类似十进制里的$0.999\dots=1$）。如果要覆盖所有实数（包括负数），只需要把系数集合扩展到${-1,0,1}$就够了，这应该是$\frac{3}{2}$基底对应的最小系数集合了——毕竟再小的话，比如只拿${0,1}$没法表示负数，${-1,0}$又没法表示大于1的数。

2. 系数集合为$\mathbb{Z}$的可行性 #

答案是肯定的，不管$n>1$是有理数还是实数，用整数系数$\mathbb{Z}$都能表示任何实数。道理其实很直观：
你可以用类似“贪心算法”的思路构造展开式：先找最大的整数$k$，让$n^{k$不超过$|r|$，然后取$a_k$为最接近$\frac{r}{n}k}$的整数，剩下的$r - a_k n^k$再重复这个过程，往低次幂甚至负次幂走，逐步逼近原数。
当然这种展开式可能不唯一，系数也可能会很大，但确实能覆盖所有实数。

3. 最小系数集合的通用结论 #

这部分是核心难点，不同类型的基底$n$，对应的最小系数集合差异很大：

• Pisot数（比如$\frac{3}{2}$、黄金分割比$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）：存在有限的最小系数集合，通常是包含0和几个连续整数的集合。比如黄金分割比$\phi$，用${0,1}$就能表示所有非负实数，扩展到${-1,0,1}$就能覆盖所有实数，这就是斐波那契编码的拓展思路。
• Salem数（大于1的代数整数，共轭根绝对值不超过1，且至少有一个绝对值等于1）：情况要复杂得多，可能需要更大的有限系数集合，甚至部分数无法用有限系数集合表示。
• 超越数（比如$n=e$或$\pi$）：目前研究还不算充分，但普遍认为存在有界的整数系数集合能覆盖所有实数，只是最小集合的范围可能会比Pisot数的情况大。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathematician 42