利用分部积分证明f(x)=f(0)+f’(0)x+∫₀ˣ(x-t)f''(t)dt

嘿，你已经走对了一半啦！咱们从你卡住的地方继续推进，或者换一种更贴合目标式的分部积分选择，就能顺利完成证明了。

首先明确我们要证的核心等式：

$\int_0^xf'(t)dt = f'(0)x + \int_0^x(x-t)f''(t)dt$

方法一：从你的现有步骤继续推导 #

你已经通过分部积分得到：
$$\int_0^xf'(t)dt = f'(t)t\big|_0^x + \int_0^x-tf''(t)dt$$

先计算边界项：
$f'(t)t\big|_0^x = x f'(x) - 0 \cdot f'(0) = x f'(x)$

所以式子变成：
$$\int_0^xf'(t)dt = x f'(x) - \int_0^x t f''(t)dt$$

接下来，我们把$x f'(x)$拆成**$x f'(0) + x(f'(x) - f'(0))$**，而根据微积分基本定理，$f'(x) - f'(0) = \int_0^x f''(t)dt$，代入后：
$$x(f'(x) - f'(0)) = x \int_0^x f''(t)dt = \int_0^x x f''(t)dt$$

把这个结果代回原式：
$$
\begin{align*}
\int_0^xf'(t)dt &= x f'(0) + \int_0^x x f''(t)dt - \int_0^x t f''(t)dt \
&= f'(0)x + \int_0^x (x - t)f''(t)dt
\end{align*}
$$

这样就完美匹配目标等式啦！

方法二：直接对目标式右侧的积分做分部积分（更直观） #

如果我们从目标式的右侧入手，选择更合适的$u$和$dv$，会更顺畅：

对$\int_0^x (x-t)f''(t)dt$用分部积分，令：

• $u = x - t$（这样$du = -dt$，正好能消去符号）
• $dv = f''(t)dt$（则$v = f'(t)$）

根据分部积分公式$\int u dv = uv\big|_0^x - \int_0^x v du$，代入得：
$$
\begin{align*}
\int_0^x (x-t)f''(t)dt &= (x-t)f'(t)\big|_0^x - \int_0^x f'(t) \cdot (-dt) \
&= \left[0 \cdot f'(x) - x f'(0)\right] + \int_0^x f'(t)dt \
&= -x f'(0) + \int_0^x f'(t)dt
\end{align*}
$$

把这个式子移项整理，直接就能得到：
$$\int_0^xf'(t)dt = f'(0)x + \int_0^x(x-t)f''(t)dt$$

两种方法都能完成证明，你可以选自己觉得更顺手的一种～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user462562