求曲线y=f(x)（指定积分函数）平行于直线x+y=0的切线数量

嘿，你的思路已经走对了关键的前两步！咱们接着把剩下的步骤拆解清楚就行～

首先，先确认一下导数的化简（避免后续计算出错）：

• 被积函数里的第二项是$\frac{1}{2}\log\sqrt{t}$，因为$\log\sqrt{t} = \frac{1}{2}\log t$，所以代入后可得：
  $\frac{1}{2}\log\sqrt{t} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\log t = \frac{1}{4}\log t$
• 因此，根据变上限积分求导法则，$f'(x) = \sqrt{\log x} - \frac{1}{4}\log x$
• 这里要注意定义域：因为被积函数里有$\sqrt{\log t}$，所以$\log t \geq 0$即$t \geq 1$，因此$f(x)$的定义域是$x \geq 1$，此时$\log x \geq 0$。

接下来，我们根据“平行线斜率相等”的条件建立方程：
直线$x+y=0$的斜率是$-1$，所以令$f'(x) = -1$，得到方程：

√logx - (1/4)logx = -1

为了简化这个方程，我们做换元：令$u = \sqrt{\log x}$（因为$x \geq 1$，所以$u \geq 0$），此时$\log x = u^2$。把它代入方程，转化为关于$u$的二次方程：

u - (1/4)u² = -1

整理成标准二次形式（两边乘以4）：

u² - 4u - 4 = 0

然后解这个二次方程：
用求根公式$u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这里$a=1$，$b=-4$，$c=-4$，代入得：

u = [4 ± √(16 + 16)]/2 = [4 ± √32]/2 = 2 ± 2√2

现在筛选有效的解：
因为$u \geq 0$，而$2 - 2√2 \approx -0.828 < 0$，不符合要求，所以只保留正根$u = 2 + 2√2$。

最后还原得到$x$的值：
由$u = \sqrt{\log x} = 2 + 2√2$，两边平方得：
$\log x = (2 + 2√2)^2 = 4 + 8√2 + 8 = 12 + 8√2$
因此$x = e^{12 + 8√2}$，这个值明显大于1，在$f(x)$的定义域内，是唯一有效的解。

结论：满足条件的切线只有1条。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mohan Sharma