概率论疑问：已知P(A)>0且P(A)+P(B)>1，P(B/A)≥1-P(B')/P(A)是否成立？

咱们一步一步来拆解这个问题，先明确核心问题：已知事件A、B满足$P(A) > 0$且$P(A) + P(B) > 1$，判断不等式$P(B|A) \geq 1 - \frac{P(B')}{P(A)}$是否成立，同时分析你当前的推导能不能证明命题不成立。

你的现有推导无法证明命题不成立 #

你目前推导出的式子是：
$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B )}{P(A)} = \frac{P(A) + P(B) - P(A \cup B)}{P(A)} > \frac{1 - P(A \cup B)}{P(A)}$$
这里的关键问题是：这个推导只是得到了$P(B|A)$的一个临时下界，但这个下界和原命题里的$1 - \frac{P(B')}{P(A)}$没有直接的逻辑关联——你没法确定这个“大于”的关系能不能否定原命题的不等式，本质上这个推导没有触碰到命题的核心等价条件，所以完全不能证明原命题不成立。

正确推导：原命题是成立的 #

我们可以从原不等式出发，做等价转化来验证：

要证明$P(B|A) \geq 1 - \frac{P(B')}{P(A)}$，因为$P(A) > 0$，两边同时乘以$P(A)$（不等号方向不变），等价于证明：
$$P(A \cap B) \geq P(A) - P(B')$$

注意到$P(B') = 1 - P(B)$，把它代入右边的式子：
$$P(A) - P(B') = P(A) - (1 - P(B)) = P(A) + P(B) - 1$$

现在问题就转化为证明$P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$，这其实是概率学里的一个基本结论，我们可以用概率加法公式推导：

根据概率加法法则，$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，移项可得：
$$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$$

而我们知道任何事件的概率都不大于1，也就是$P(A \cup B) \leq 1$，所以$-P(A \cup B) \geq -1$，把这个代入上式：
$$P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$$

这正好是我们需要的等价条件！而且题目里给出的$P(A) + P(B) > 1$只是保证了右边的结果为正，但即使没有这个条件，这个不等式依然成立（当$P(A)+P(B)\leq1$时，右边$\leq0$，而$P(A\cap B)\geq0$，不等式自然成立）。

最后把这个结果回代到条件概率的表达式里：
$$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \geq \frac{P(A)+P(B)-1}{P(A)} = \frac{P(A) - (1-P(B))}{P(A)} = 1 - \frac{P(B')}{P(A)}$$

所以结论很明确：原命题是成立的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者navjotjsingh