寻求在点x=a处可导但无二阶导数的函数实例

当然有啦，这类函数其实挺常见的，给你举几个经典的例子，方便你理解：

例子1：绝对值的3/2次方函数 #

定义函数：

f(x) = |x - a|^(3/2)

咱们来一步步验证：

• 一阶导数在x=a处的存在性：用导数定义计算，当h→0时：

  lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h = lim(h→0) |h|^(3/2) / h = lim(h→0) |h|^(1/2) * sign(h)
  因为|h|^(1/2)趋近于0，乘以有界的sign(h)（符号函数），最终极限为0，所以f'(a)=0，一阶导数存在。

• 二阶导数在x=a处的情况：当x>a时，f'(x) = (3/2)(x-a)^(1/2)；当x<a时，f'(x) = -(3/2)(a-x)^(1/2)。计算二阶导数的左右极限：
  右极限：lim(h→0+) [f'(a+h) - f'(a)]/h = lim(h→0+) (3/2)h^(1/2)/h = lim(h→0+) 3/(2√h) → +∞
  左极限：lim(h→0-) [f'(a+h) - f'(a)]/h = lim(h→0-) -(3/2)(-h)^(1/2)/h = lim(h→0-) 3/(2√(-h)) → +∞
  左右极限都是无穷大，说明二阶导数在x=a处不存在。

例子2：带震荡项的多项式函数 #

定义函数：

f(x) = (x - a)^2 * sin(1/(x - a)) ，当x ≠ a时
f(a) = 0

验证过程如下：

• 一阶导数在x=a处的存在性：用导数定义计算：

  lim(h→0) [f(a+h) - f(a)]/h = lim(h→0) h² sin(1/h) / h = lim(h→0) h sin(1/h)
  当h趋近于0时，h是无穷小量，sin(1/h)是有界函数，两者乘积的极限为0，所以f'(a)=0，一阶导数存在。

• 二阶导数在x=a处的情况：先求x≠a时的一阶导数：

  f'(x) = 2(x-a)sin(1/(x-a)) - cos(1/(x-a))
  

  再用定义计算x=a处的二阶导数：

  lim(h→0) [f'(a+h) - f'(a)]/h = lim(h→0) [2h sin(1/h) - cos(1/h)] / h = lim(h→0) [2 sin(1/h) - cos(1/h)/h]
  这个极限不存在——因为cos(1/h)会在[-1,1]之间无限震荡，除以h后会在正负无穷之间来回波动，没有确定的极限，因此二阶导数在x=a处不存在。

简单总结一下：这类例子的核心思路是让一阶导数在x=a处存在，但一阶导数在该点不连续（或者不可导），这样二阶导数自然就不存在啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user525033