求解定积分$$\int _0^{\frac{\pi }{2}}\sin^2x\cos^2x\,dx$$遇阻，寻求专业指导

首先，先帮你理清参考解答第一步的思路——这一步其实是利用二倍角正弦公式的变形，完全不需要用到双曲恒等式（在线计算器的提示大概率是算法误判了，这个积分用基础三角恒等式就能轻松解决）。

步骤1：变形简化被积函数 #

参考解答里的第一步：

$$\int _0^{\frac{\pi }{2}}\sin^2x\cos2x,dx=\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{4}\left(4\sin^2x\cos2x\right),dx$$
这一步的核心是凑出二倍角公式的形式：我们知道$2\sin x \cos x = \sin2x$，两边平方后得到$4\sin^2x\cos2x = \sin^22x$，所以原式可以转化为：
$$\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{4}\sin^22x,dx$$

步骤2：用降幂公式进一步简化 #

接下来用正弦降幂公式：$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2}$，把$\theta=2x$代入，得到：
$$\sin^22x = \frac{1 - \cos4x}{2}$$
代入积分式后：
$$\frac{1}{4}\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1 - \cos4x}{2},dx = \frac{1}{8}\int _0^{\frac{\pi }{2}}(1 - \cos4x),dx$$

步骤3：拆分积分并计算 #

把积分拆成两部分分别计算：

• 第一部分：$\int _0^{\frac{\pi }{2}}1,dx = \frac{\pi}{2}$
• 第二部分：$\int _0^{\frac{\pi }{2}}\cos4x,dx$，令$u=4x$，则$du=4dx$，积分变为$\frac{1}{4}\int _0^{2\pi}\cos u,du = \frac{1}{4}[\sin u]_0^{2\pi} = \frac{1}{4}(0 - 0) = 0$

把两部分结果代入：
$$\frac{1}{8}\left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = \frac{\pi}{16}$$

补充说明 #

1. 关于在线计算器的“双曲恒等式”提示：这明显是错误的，这个积分完全属于基础三角积分范畴，和双曲函数无关，不用在意这个提示。
2. 关于Symbolab提示输入无效：大概率是你输入的格式问题，比如$\sin^2x$有的工具需要写成sin(x)^2，或者上下限的符号是否正确，调整输入格式后应该就能正常计算了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sktsasus