关于紧集上凸函数的困惑：与丘成桐黎曼流形结论的矛盾咨询

你的问题核心在于对丘成桐论文结论的适用范围、黎曼几何中凸函数的定义细节理解有偏差，我们一步步拆解：

1. 丘成桐结论的准确适用场景 #

首先明确：S.T.丘在这篇1974年的论文中证明的是非紧的、有限体积的完备黎曼流形上，不存在非平凡的连续凸函数。注意这里的关键限定词是非紧——你举的例子$[-1,1]$是紧的（作为欧氏空间的子流形，它是有界闭集，满足紧性），所以完全不在这个结论的覆盖范围内。

2. 紧完备黎曼流形上的凸函数情况 #

对于紧的完备黎曼流形，确实存在非平凡的连续凸函数，你举的$f=|x|$就是典型例子，但这里要区分两种凸函数的定义：

• 欧氏空间中的凸函数：我们通常说的$f(x)=|x|$在$[-1,1]$上是凸的，是指对任意$t\in[0,1]$，$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$，这是欧氏凸性的定义。
• 黎曼几何中的凸函数：在黎曼流形上，凸函数的定义是：对任意两点$p,q$，连接它们的最短测地线$\gamma(t)$（$t\in[0,1]$），满足$f(\gamma(t))\leq (1-t)f(\gamma(0))+tf(\gamma(1))$。对于$[-1,1]$这个一维紧黎曼流形，任意两点的最短测地线就是欧氏线段，所以$f=|x|$完全满足这个定义，是合法的连续凸函数。

那为什么有些资料会说“紧黎曼流形上的凸函数必为常数”？那是针对可微（甚至$C^2$）的凸函数而言的：
如果$f$是$C^2$的凸函数，意味着它的Hessian（二阶协变导数）在流形上处处非负。对于紧流形，$f$必然存在最大值点$p$，在$p$点处Hessian是半负定的（因为最大值点的二阶导数非正），结合Hessian非负的条件，只能得到Hessian在$p$点为零。再通过极大值原理可以推导出$f$在整个流形上是常数。但$f=|x|$不是可微函数（在$x=0$处不可导），所以不满足这个推导的前提条件，自然可以是非平凡的。

3. 回到非紧有限体积完备流形的结论 #

对于非紧的情况，比如具有有限体积的完备双曲流形，这类流形“无限延伸”但总体积有限，此时任何连续凸函数要么是常数，要么会趋向于无穷大，但有限体积的条件限制了这种趋向，最终只能是常数。这正是丘成桐论文要证明的核心。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MAS