求x趋近于0时$$\frac{\sin^{200}x}{x^{199}\sin4x}$$的极限，洛必达法则应用咨询

嘿，我得说你这用三次洛必达法则算出的式子看着确实有点吓人——其实这个极限根本不用这么麻烦，咱们换个更简单的思路就行！

当 ( x \to 0 ) 时，我们有两个关键的等价无穷小关系：

• ( \sin x \sim x )
• ( \sin 4x \sim 4x )

把这两个替换代入原式：
[
\frac{\sin^{200}(x)}{x{199}\sin(4x)} = \frac{(\sin x)^{199} \cdot \sin x}{x^{199} \cdot \sin 4x} = \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{199} \cdot \frac{\sin x}{\sin 4x}
]

现在分别求两部分的极限：

• ( \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{199} = 1^{199} = 1 )（这是经典极限，你肯定也熟悉）
• ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x / x}{4 \cdot (\sin 4x)/(4x)} = \frac{1}{4 \cdot 1} = \frac{1}{4} )

把两部分乘起来，最终极限就是 ( 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} )

先不说你三次洛必达后的计算是否正确——单从效率上讲，继续用洛必达绝对是下下策：分子分母的导数会越来越复杂，不仅容易算错，还完全没必要。洛必达法则虽然好用，但不是所有极限都适合用它，尤其是这种能通过等价无穷小或者泰勒展开快速解决的问题。

如果非要验证你的洛必达结果，其实可以把 ( x \to 0 ) 代入你得到的式子试试：分子里的sinx趋近于0，cosx趋近于1，sin2x趋近于0，分子最终会趋近于 ( 200 \times 199 \times 198 \times 1^3 )；但分母里所有含x的项都会趋近于0，还是0/0型，这说明你三次洛必达后的计算大概率出错了，而且这条路只会越走越绕。

所以建议你放弃继续用洛必达，改用等价无穷小的方法，既快又不容易错。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nick