曲线t→(t,t²,t³)嵌入ℝ到ℝ³的相关问题及求解问询

嘿，我来帮你一步步拆解这个问题，搞清楚每个环节～

首先明确：嵌入映射需要满足连续单射，并且是到其像集的同胚（也就是原空间和像集之间是双向连续的）。我们逐个验证：

• 连续性：曲线的三个分量都是关于$t$的多项式，多项式在$\mathbb{R}$上天然连续，所以$\gamma$是连续映射，这一步你说的“显然”完全没问题。
• 单射性：假设$\gamma(t_1)=\gamma(t_2)$，那第一个分量直接给出$t_1=t_2$，不可能有两个不同的$t$映射到同一个点，所以是单射。
• 同胚到像集：要证明逆映射$\gamma^{-1}: \gamma(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$连续。对于像集里的任意点$(x,y,z)=\gamma(t)$，逆映射就是取第一个分量$x=t$——这其实是$\mathbb{R}^3$到$\mathbb{R}$的投影映射的限制，投影映射本身连续，限制在像集这个子空间上自然也连续。所以$\gamma$是双连续的单射，满足嵌入的定义。

像集$\gamma(\mathbb{R})$就是所有满足$y=x^2$且$z=x3$的点$(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$，我们可以构造两个非常直观的函数：

• $f(x,y,z) = y - x^2$
• $g(x,y,z) = z - x^3$

像集正好是这两个函数同时取0的点集，也就是$f^{-1}(0)\cap g^{-1}(0)$，完美定义了曲线的像。

接下来聊独立性的问题：
我们通过计算它们的梯度来判断线性独立性（这是判断光滑函数是否独立的常用方法）：
$\nabla f = (-2x, 1, 0)$，$\nabla g = (-3x^2, 0, 1)$
你看，$\nabla f$的第二个分量是1，$\nabla g$的第二个分量是0——不管在$\mathbb{R}^3$的哪个点，都不可能找到非零实数$\lambda$让$1 = \lambda \cdot 0$，这意味着这两个梯度向量在整个$\mathbb{R}^3$上都是线性无关的。

换句话说，不存在任何光滑函数$h$，能让$f=h(g)$或者$g=h(f)$在整个$\mathbb{R}^{3$上成立（你可以试着找，会发现必然出现矛盾，比如取点$(0,0,0)$和$(1,1,2)$，就能推出$h(0)$既要等于0又要等于1，显然不可能）。所以这两个函数是在**整个$\mathbb{R}}3$上全局独立**的，而不只是在像集的邻域里。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Extremal