如何识别具有奇点的多项式？相关实例解析

咱们先从一个带奇点的经典多项式例子说起：y² - x² - x³ = 0，它对应的仿射簇在点(0,0)处是奇点。判断奇点的核心逻辑很简单：一个点是簇的奇点，当且仅当多项式在该点的所有偏导数同时为0。对这个多项式求偏导验证一下：

• ∂f/∂y = 2y，在(0,0)处取值为0
• ∂f/∂x = -2x - 3x²，在(0,0)处取值也为0
  完全符合奇点的定义，所以(0,0)是它的奇点。

但只要给这类多项式添上一个线性项，情况就会发生变化，比如y² - x² - x³ - x = 0或者y² - x² - x³ - t = 0，它们对应的簇就不再有奇点（或者说，像后者这种情况，根本不存在奇点）。

为什么f(x,y,t) = y² - x² - x³ - t对应的簇非奇异？ #

咱们来拆解一下这个三元多项式的偏导数：

• ∂f/∂y = 2y
• ∂f/∂x = -2x - 3x²
• ∂f/∂t = -1

假设存在某个点(a,b,c)是这个簇的奇点，那必须同时满足两个条件：

1. 该点在簇上：f(a,b,c) = 0，也就是b² - a² - a³ - c = 0
2. 所有偏导数在该点取值为0：2b=0、-2a - 3a²=0，还有**-1=0**

问题就出在第三个偏导数上：∂f/∂t恒等于-1，这是个永远不可能为0的常数。也就是说，根本找不到任何一个点能让所有偏导数同时为0，自然这个多项式对应的仿射/射影簇就是完全非奇异的。

顺带提一句，像y² - x² - x³ - x = 0这种二元多项式，虽然加了线性项，但在复数域里其实还是存在奇点的（不过在实域里没有实奇点）——但三元的这个例子因为有一个偏导数是常数，直接从根源上排除了奇点存在的可能，这也是它非奇异的核心原因。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者n00d1es