非线性映射U:C⁰([0,1])→C⁰([0,1])的连续性证明问题

咱就用$C^0([0,1])$空间里最常用的序列极限定义来证这个映射的连续性，毕竟一致收敛的序列性质好处理，步骤如下：

• 先明确$C^0([0,1])$上的收敛规则：这里的序列收敛指的是一致收敛，也就是对序列${f_n}\subset C^0([0,1])$和$f\in C^0([0,1])$，$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n = f$等价于$\lim_{n\rightarrow\infty}|f_n - f|\infty = 0$，其中$|g|\infty = \max_{x\in[0,1]}|g(x)|$是一致范数。换句话说，就是对任意$\epsilon>0$，存在正整数$N$，当$n>N$时，对所有$x\in[0,1]$都有$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$。

• 接下来要证的核心结论：如果${f_n}$一致收敛到$f$，那么${U(f_n)}$也必须一致收敛到$U(f)$，其中$U(g)(x)=e^{-g(x)2}$。

• 计算差值的上界：对任意$x\in[0,1]$，我们有：
  $$|U(f_n)(x)-U(f)(x)| = \left|e^{-f_n(x)2} - e^{-f(x)2}\right|$$
  利用指数函数的中值定理：存在介于$f_n(x)^2$和$f(x)2$之间的$\xi$，使得
  $$e^{-f_n(x)2} - e^{-f(x)2} = -e^{{-\xi}\cdot\left(f_n(x)}2 - f(x)^2\right)$$
  展开平方差并取绝对值：
  $$\left|e^{-f_n(x)2} - e^{-f(x)2}\right| = e^{-\xi}\cdot|f_n(x)-f(x)|\cdot|f_n(x)+f(x)|$$

• 由于${f_n}$一致收敛到$f$，而连续函数在闭区间$[0,1]$上有界，所以存在一个常数$M>0$，使得对所有$n$和所有$x\in[0,1]$，都有$|f_n(x)|\leq M$且$|f(x)|\leq M$。这时候$|f_n(x)+f(x)|\leq |f_n(x)|+|f(x)|\leq 2M$，同时$e^{-\xi}\leq e^0=1$（因为$\xi\geq0$），所以：
  $$\left|U(f_n)(x)-U(f)(x)\right|\leq 2M\cdot|f_n(x)-f(x)|$$
  对所有$x\in[0,1]$取最大值，就得到：
  $$|U(f_n)-U(f)|\infty\leq 2M\cdot|f_n-f|\infty$$

• 最后收尾：因为$\lim_{n\rightarrow\infty}|f_n-f|\infty=0$，所以$\lim{n\rightarrow\infty}|U(f_n)-U(f)|_\infty=0$，也就是$U(f_n)$一致收敛到$U(f)$。根据序列极限版的连续性定义，映射$U$是连续的。

当然，如果你想用开集原像的定义来证，思路也类似：任取$C^{0([0,1])$中的开集$V$，要证$U}{-1}(V)$是开集。本质上还是利用指数函数在有界集上的利普希茨性质，结合一致拓扑的开集定义（由一致球构成基）来推导，核心逻辑和序列法是相通的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者james watt