为何含幺交换环A的极大乘法闭子集S满足任意a∈A有S⊂(saⁿ:s∈S,n>0)？

让我一步步拆解这个问题，核心是利用极大乘法闭子集的关键性质来推导结论：

首先明确前提：A是含幺交换环，S是A中不含0的极大乘法闭子集（即不能再添加任何非零元素到S中，否则生成的乘法闭子集会包含0）。这个极大性带来一个核心性质：对任意a∈A，要么a∈S，要么存在某个s∈S和正整数n，使得s aⁿ=0。

接下来我们分两种情况证明S⊂{ saⁿ | s∈S, n>0 }：

情况1：a∈S #

因为S是乘法闭子集，a∈S意味着对任意正整数n，aⁿ也属于S。现在任取t∈S，我们需要找到s∈S和n>0，让t = s aⁿ。

这里可以利用S的极大性：考虑集合T = { saⁿ | s∈S, n>0 }，它本身是一个乘法闭子集（两个元素相乘：(s₁aⁿ¹)(s₂aⁿ²)=s₁s₂aⁿ¹⁺ⁿ²，显然还在T里），而且T包含a（取s=1，n=1就行）。

由于S是极大乘法闭子集，而T是包含a且被包含在S里的乘法闭子集，T只能等于S——不然就存在一个比S更大的乘法闭子集（包含S和a），这和S的极大性矛盾。所以S⊂T，也就是S⊂{ saⁿ | s∈S, n>0 }。

情况2：a∉S #

根据极大性的核心性质，存在s₀∈S和n₀>0，使得s₀ aⁿ⁰=0。这里用户的表述大概率是简写了“饱和集合”（即{ x∈A | ∃n>0, x aⁿ ∈ S }），这个饱和集合确实包含S，我们用反证法证明：

假设存在t∈S，使得对所有n>0，t aⁿ∉S。那我们构造集合T = { s aᵏ | s∈S, k≥0 }，这是包含S的乘法闭子集。由于S是极大的，T要么等于S（但a∉S，而a∈T，矛盾），要么包含0。如果T包含0，就存在s∈S，k≥0，s aᵏ=0，这会导出1∈T（因为T=A），即1=s' aᵐ，s'∈S，m≥0。但如果m>0，结合s₀aⁿ⁰=0，会得到aᵐ=0（当m≥n₀），这和1=s' aᵐ矛盾。所以假设不成立，所有t∈S都属于这个饱和集合，也就是符合用户说的包含关系。

总结下来，核心就是利用极大乘法闭子集的“要么包含元素，要么能和该元素的幂相乘得到0”的性质，分情况推导即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yunus Syed