点积的物质导数公式是否成立？请求证及原理说明

嘿，这个公式绝对是成立的！咱们把它拆解开，一步步理清楚为什么它能成立，帮你把证明的逻辑捋明白。

先明确核心定义 #

首先得把物质导数的定义钉牢：$\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla$，这里的$\vec{u}$是流场的速度矢量，这个导数是跟着流体质点运动的导数（拉格朗日视角），和固定空间点的欧拉视角偏导不一样，但本质上它还是一个微分算子，满足微分算子的基本规则。

用分量形式推导最直观 #

咱们拿笛卡尔坐标系来举例，把矢量拆成分量看就一目了然了：

• 设$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的点积就是$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$，这是个标量。
• 现在计算这个标量的物质导数：
  $$
  \frac{d}{dt}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{d}{dt}(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) = \sum_{i=1}^3 \frac{d}{dt}(a_i b_i)
  $$
• 对每个$a_i b_i$项，直接用咱们熟悉的乘积法则就行（物质导数对标量乘积的规则和普通导数完全一致）：
  $$
  \sum_{i=1}^3 \left( a_i \frac{d}{dt}b_i + b_i \frac{d}{dt}a_i \right) = \sum_{i=1}^3 a_i \frac{d}{dt}b_i + \sum_{i=1}^3 b_i \frac{d}{dt}a_i
  $$
• 最后把求和式还原成矢量点积的形式，就得到了你要的结果：
  $$
  \vec{a} \cdot \frac{d}{dt}\vec{b} + \vec{b} \cdot \frac{d}{dt}\vec{a}
  $$

从算子角度理解本质 #

其实不用拆分量也能想通：物质导数$\frac{d}{dt}$是一个线性微分算子，对于任意两个标量函数$f$和$g$，它都满足$\frac{d}{dt}(fg) = f\frac{d}{dt}g + g\frac{d}{dt}f$。而$\vec{a} \cdot \vec{b}$本身就是一个标量，完全符合这个规则的适用条件。

哪怕你纠结对流项$\vec{u} \cdot \nabla$，它作为微分算子同样满足莱布尼茨法则：$\vec{u} \cdot \nabla(fg) = f(\vec{u} \cdot \nabla g) + g(\vec{u} \cdot \nabla f)$，加上时间偏导的乘积法则，整个物质导数自然就满足点积的乘积法则了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user11328