关于$rac20$与$rac50$的相等性及对应无穷大的层级与基数问题

嘿，这个问题问到点子上了，咱们一步步掰扯清楚：

在标准实数/复数体系里，除以0是完全没有定义的——不是等于无穷大，而是这个表达式本身就不合法，不存在对应的数值。你可以这么想：除法是乘法的逆运算，$a/b = c$ 意味着 $b \times c = a$，但0乘任何数都是0，不可能得到2或5，所以这两个式子从根源上就没有意义，更谈不上相等不相等。

如果是在扩展实数系（常用于极限分析的场景）里，我们会引入 $+\infty$ 和 $-\infty$ 这两个符号来描述趋势，但即使在这里，也不能直接说 $\frac{2}{0} = +\infty$：它的真实含义是“当正数x趋近于0时，2/x的极限是$+\infty$”；如果x从负数方向趋近于0，2/x的极限就是$-\infty$。$\frac{5}{0}$ 也是同理。但哪怕在这个体系里，我们也不会说这两个式子相等，因为它们本身不是合法的运算结果，只是对极限趋势的描述而已。

这里得先明确两个完全不同的“无穷”概念：

• 极限里的 $\infty$ 是趋势符号，用来表示变量无限增大的过程，它不是一个“数”，也没有所谓的“基数”。如果单说正方向的极限趋势，$\frac{2}{0}$ 和 $\frac{5}{0}$ 对应的都是“无限增大”这个趋势，不存在不同层级的区别。
• 集合论里的无穷基数（比如自然数集的基数 $\aleph_0$、实数集的基数 $\mathfrak{c}$）是用来描述集合大小的严格数学对象，这些确实有不同的层级，但它们和“除以0得到的无穷大”完全不搭边——这是两个数学分支里的概念，不能混在一起讨论。

总结一下 #

1. 标准数学框架下，$\frac{2}{0}$ 和 $\frac{5}{0}$ 都没有定义，不存在相等与否的问题；
2. 从极限角度理解，它们的增长趋势是一致的，但这不是“等于无穷大”；
3. 集合论里的无穷基数和这个场景无关，这里不存在不同基数的无穷大。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user87161