问询：使嵌入映射C(X)→L^∞(X,ν)单射的测度ν的条件

我来直接给出结论并详细推导：当X是紧Hausdorff空间，ν是X上的有限概率测度时，包含映射j: C(X) → L^∞(X,ν)是单射的充要条件是ν具有全支撑。

先明确支撑的两种等价定义（在紧Hausdorff空间下等价）：

• 测度ν的支撑supp ν是X中所有满足「每个邻域N_x的测度ν(N_x) > 0」的点x的集合；
• 等价表述：X中所有非空开集G都满足ν(G) > 0。

充分性证明（全支撑 ⇒ 映射单射） #

假设ν具有全支撑（即每个非空开集G的ν(G) > 0），我们要证明j是单射：也就是若f ∈ C(X)且j(f) = 0（即f在ν-几乎处处为0），则f必为恒零函数。

用反证法：假设存在x₀ ∈ X使得f(x₀) ≠ 0，不妨设f(x₀) > 0（负取值的情况完全对称）。由于f连续，我们能找到x₀的邻域U，使得对所有x ∈ U，都有f(x) > f(x₀)/2 > 0。因为ν有全支撑，所以ν(U) > 0——这意味着f在一个正测度集合上非零，和j(f)=0（几乎处处为0）矛盾。因此f只能恒为0，j是单射。

必要性证明（映射单射 ⇒ 全支撑） #

假设j是单射，我们要证明ν具有全支撑：即每个非空开集G的ν(G) > 0。

依旧用反证法：假设存在非空开集G满足ν(G)=0。X是紧Hausdorff空间，属于正规空间，根据Urysohn引理，我们可以构造连续函数f ∈ C(X)，使得：

• 对所有x ∈ G，f(x)=1；
• 对所有x ∉ G，f(x)=0。

此时f在ν-几乎处处为0（仅在测度为0的G上非零），所以j(f)=0。但f显然不是恒零函数（G非空，f在G上取值为1），这和j是单射的假设矛盾。因此不存在这样的开集G，即每个非空开集的测度都为正，ν具有全支撑。

补充：支撑两种定义的等价性验证 #

在紧Hausdorff空间中，「每个点x的邻域测度为正」和「每个非空开集测度为正」等价：

• 正向推导：若每个非空开集测度为正，那么任意点x的邻域（本身是非空开集）测度自然为正；
• 反向推导：若存在非空开集G测度为0，那么G中的每个点x都有一个邻域（即G）测度为0，与「每个点的邻域测度正」矛盾，故反向成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tattwamasi amrutam