虚数真的不可比较吗？为何Argand平面虚轴按i、2i顺序绘制？

这是个非常好的问题，核心是要区分**“坐标上的排列顺序”和“数的大小比较”**这两个完全不同的概念，咱们一步步拆解：

先搞懂：虚数不能比较大小的本质原因 #

复数（包括纯虚数）没法像实数那样定义一个“大小”关系，因为这个关系要满足几个关键的公理（比如如果a>b，那么a+c>b+c；如果a>b且c>0，那么ac>bc），但纯虚数根本做不到这点：

• 假设我们说i>0，那两边乘i（正数乘正数应该还是正数），得到i²>0，也就是-1>0，这显然矛盾；
• 那如果假设i<0，乘i的时候不等号要反转（负数乘负数得正数），得到i²<0？不对，i²是-1，-1<0是对的，但再往下推：既然i<0，那-i>0，两边平方得(-i)²>0，也就是-1>0，又矛盾了。

所以不管怎么假设，都没法给纯虚数（乃至所有复数）定义一个符合逻辑的全序大小关系，这就是它们不能比较大小的根本原因。

再看Argand平面的排列：那是坐标分量的排序，不是虚数本身的大小 #

Argand平面里，我们把复数a+bi对应到平面上的点(a,b)：实部a对应x轴坐标，虚部b对应y轴坐标。

• 纯虚数i对应(0,1)，2i对应(0,2)，我们在虚轴（y轴）上按1、2的顺序排列它们，本质是在比较虚部这个实数的大小，或者比较复数到原点的模长（也是实数）——1<2，所以(0,1)在(0,2)的下方。

就像你在平面直角坐标系里，点(0,2)在(0,1)的上方，但你不能说“点(0,2)比点(0,1)大”，你只能说它的y坐标更大，或者它到原点的距离更远。虚轴上的排列逻辑完全一样：我们用实数坐标来标注复数的位置，利用了实数可比较的特性，但这和虚数本身的“大小”无关。

你的老师说“虚数仅为无量纲的点”，其实想表达的是：复数作为平面上的点，没有天然的、像实数那样的直线型全序（谁在前谁在后代表谁大谁小），它们的位置只是一种表示方式，不是大小的体现。

补充：复数的“顺序”≠“大小” #

有时候我们会给复数定义一些“顺序”，比如字典序：先比实部，实部相同再比虚部。但这只是一种排序规则，不是大小关系——它不满足实数大小的运算封闭性。比如按字典序(1,2)>(0,3)，但如果给两者都加上(0,-4)，得到(1,-2)和(0,-1)，按字典序还是(1,-2)更大，但如果是大小关系的话，这种运算后的一致性是需要保证的，而复数做不到这一点。

总结一下：Argand平面的排列是借助实数坐标的可比较性来可视化复数，虚轴上i、2i的顺序是虚部（实数）的大小顺序，而非虚数本身的大小；虚数不能比较大小是因为无法定义符合逻辑的全序关系，这两者完全不冲突。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user508298