双射线性映射逆元的归属与双射性求证咨询

嘿，我来帮你梳理清楚这两个疑问～首先明确你的核心问题：

• 若$l^{-1} \in L(w;v)$，它是否为双射？
• 若$l \in L(v;w)$是双射，那么$l^{-1}$是否属于$L(w;v)$？

先看你已经完成的推导部分：

$\Rightarrow$ 假设$T$可逆。为证明$T$是单射，设$u, v \in V$满足$T(u)=T(v)$。对等式两边应用$T$的逆映射$T^{-1}$，可得$T^{-1} T u = T^{-1} T v$，因此$u = v$，故$T$是单射。为证明$T$是满射，需证明对任意$w \in W$，存在$v \in V$使得$T v = w$。取$v = T^{-1}w \in V$，然后...

接下来我补充完整并解答你的疑问：

第一个问题：$l^{-1} \in L(w;v)$是否为双射？ #

答案是肯定的。只要$l^{-1}$是线性映射（即属于$L(w;v)$），它必然是双射：

• 单射性：假设$l^{-1}(w_1) = l^{{-1}(w_2)$，对等式两边作用$l$，可得$l(l}{-1}(w_1)) = l(l^{-1}(w_2))$，也就是$w_1 = w_2$，因此$l^{-1}$是单射。
• 满射性：对任意$v \in V$，取$w = l(v) \in W$，则$l^{-1}(w) = v$，这说明每个$v$都能找到对应的原像$w$，因此$l^{-1}$是满射。
  单射+满射的映射就是双射，所以$l^{-1}$一定是双射。

第二个问题：若$l \in L(v;w)$是双射，$l^{-1}$是否属于$L(w;v)$？ #

答案同样是肯定的。双射的线性映射（也叫线性同构）的逆映射也是线性映射，因此属于$L(w;v)$，我们来证明它的线性性：
设$w_1, w_2 \in W$，$k$是任意标量。因为$l$是双射，所以存在唯一的$v_1, v_2 \in V$，使得$l(v_1)=w_1$、$l(v_2)=w_2$，也就是$v_1 = l^{-1}(w_1)$、$v_2 = l^{-1}(w_2)$。

• 加法保持：由于$l$是线性映射，$l(v_1 + v_2) = l(v_1) + l(v_2) = w_1 + w_2$，因此$l^{-1}(w_1 + w_2) = v_1 + v_2 = l^{-1}(w_1) + l^{-1}(w_2)$。
• 数乘保持：同理，$l(kv_1) = k \cdot l(v_1) = k w_1$，因此$l^{-1}(k w_1) = k v_1 = k \cdot l^{-1}(w_1)$。
  满足线性映射的两个核心条件，所以$l^{-1} \in L(w;v)$。

另外，你之前的推导可以补充完整：对于满射部分，取$v = T^{-1}w$后，$T(v) = T(T^{-1}w) = w$，这就完成了满射的证明——可逆的线性映射一定是双射；反过来，在有限维空间中，双射的线性映射也一定可逆（无限维空间需要额外拓扑条件，但基础线性代数通常讨论有限维场景）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者marie